摘 要： 根據壓縮感知具有壓縮短、解碼復雜和魯棒性強的特征，提出一種新的基于壓縮感知的數字圖像水印算法。該算法有效克服了信號重建時稀疏度未知的問題，增強了數字水印系統的抗提取防破壞能力。在嵌入水印時，將水印的高頻系數用構造的伯努利矩陣進行觀測后，嵌入于圖像的低頻系數中;在提取水印時，利用正則化自適應匹配追蹤(RAMP)算法對高頻系數進行恢復，最后與低頻系數結合實現水印的重構。實驗結果表明：該算法在重構精度和重構時間上要高于同類算法，具有很好的魯棒性、透明性和安全性。

　　關鍵詞： 國家級計算機期刊,數字水印,壓縮感知,RAMP算法,水印重構

　　A digital image watermark algorithm based on compressive perception

　　ZHANG Hao?hao， WU You， YU Rui， FENG Jin?jin

　　(School of Electronics and Information， Jiangsu University of Science and Technology， Zhenjiang 212003， China)

　　Abstract： Since compressive perception has the characteristics of short compression， decoding complexity and strong robustness， a new digital image watermark algorithm based on compressive perception is proposed. The algorithm overcame the shortcoming that the sparsity is unknown in signal reconstruction， and enhanced the function to resist illegal extraction and prevent damage of digital watermark system. When watermark is embedded， the high?frequency coefficients of the watermark are measured by the constructed Bernoulli matrix， and then the watermark is embedded in the low?frequency coefficients of the image. As for the watermark extraction， the regularized adaptive matching pursuit (RAMP) algorithm is used to recover the high?frequency coefficients， and make them combined with the preserved low?frequency coefficients to obtain the reconstructed watermark. Compared with the original compressed sensing algorithm， The experimental results demonstrate that the proposed algorithm is better than the original compressive perception algorithm in reconstruction accuracy and time consumption， and has good robustness， high transparency and security.

　　Keywords： digital watermark; compressive perception; RAMP algorithm; watermark reconstruction

　　0 引 言

　　隨著計算機網絡和信息技術的飛速發展，數字多媒體信息的傳輸和獲取變得越來越容易，由此引發的數字多媒體的版權、經濟利益等問題受到人們的廣泛關注。數字水印技術[1]是一種有效解決版權和安全性問題的技術，被廣泛應用在圖像、音頻、視頻等多媒體信息的處理中，并且以數字圖像水印為主，經歷了從時域水印到變換域水印再到零水印，脆弱水印到魯棒性水印再到二重水印的發展過程。早期的水印算法主要應用在空間域中，具有速度快的優點，雖算法簡單，但魯棒性不高，且易影響載體圖像;而變換域水印具有容量大、抗干擾能力強、透明度高等特點，并且可以與現有的數據壓縮標準JPEG兼容，信號能擴展到所有像素上，成為數字水印技術研究的熱點。雖然已經進行了大量的研究，但到目前為止水印的抗攻擊和防提取能力有限，這大大限制了數字水印技術在其他領域的應用。因此，尋求一種具有更好的抗攻擊能力和防提取能力的數字水印新技術具有重要的研究意義。

　　近幾年新興的壓縮感知技術為其提供了這種可能，它突破奈奎斯特采樣定理的限制，使壓縮、采樣同步完成，通過合適的重構算法，使用少量的觀測值便可恢復原始的稀疏信號，可有效減小系統存儲和降低硬件的設計，保護數字水印信息，比傳統的數字水印技術易操作和實現。本文把壓縮感知理論應用于數字水印技術[2?3]中，結合人類視覺系統(HVS)的特性選擇嵌入位置，增強了水印的魯棒性和安全性，同時降低了存儲空間。

　　1 壓縮感知理論 　　壓縮感知[4]的核心內容是已知信號進行某一正交變換后得到的系數大部分是近似為零的，就可以以遠少于奈奎斯特采樣定理所要求的采樣數來重構出原始信號。它包含兩個要點：信號的稀疏性和觀測的不相關性，稀疏性是壓縮感知的先決條件，不相關性是壓縮感知觀測可行性的保證。稀疏性和不相關性分別體現在信號的稀疏表示和觀測矩陣的設計中，以下分別從三個方面來介紹壓縮感知的基本原理。

　　1.1 信號的稀疏表示

　　將信號[X∈RN]通過正交變換基計算信號的變換系數[θ=ψTX]，稱為信號的稀疏化。現實生活中，大部分信號都不是稀疏的，但是它們在變換域是稀疏的。對于圖像信號，幾乎所有的像素都不為零，但經過某個正交基(如DCT，DWT等)的變換，使得大多數系數的絕對值非常小，幾乎可忽略不計視為零。取絕對值較大的系數幾乎可以包含圖像的全部信息，這樣就可以將其看成是可壓縮的。只要是可壓縮的信號，就可以使用壓縮感知采樣理論。

　　1.2 觀測矩陣的設計

　　觀測矩陣的構造直接影響到壓縮信號的重構，不同的信號會選擇不同的稀疏表達基[5]。而針對每種不同的稀疏表達基[ψ]能否找到一個與其不相關的觀測矩陣就顯得尤為重要。用大小為M×N的采樣矩陣[φ]對變換系數[θ]進行采樣得到[Y=φθ=φψTX]。其中觀測矩陣[φ]要求是一個與變換基[ψ]不相關、平穩的矩陣。常用的高斯隨機矩陣滿足上述條件，但需要的存儲空間較大且計算復雜，因此本文選擇重構信號概率較大且速度快的伯努利矩陣作為觀測矩陣。

　　1.3 信號的重構

　　信號的重構是通過求解一個欠定的線性方程組，從低維度的觀測值中恢復出高維度的原始信號的過程。將求解欠定方程組的問題轉化為求解0?范數意義的最優化問題。通過公式計算可以得到X的精確或者近似X：

　　[minψTX0 s.t. Y=φψTX]

　　目前常用的重建算法有凸優化算法和貪婪算法。由于貪婪算法具有算法簡單、重建效果好、計算量小等特點得到廣泛應用，本文采用提出的RAMP算法來實現。

　　2 RAMP算法

　　RAMP算法把ROMP算法[6]正則化過程和SAMP算法的自適應思想結合起來，有效克服了OMP及其延伸類算法只有首先對信號的稀疏度估計才能精確重建的局限，使得算法本身可以在迭代過程中通過可變步長自動進行原子數目篩選來重建稀疏度未知的信號。算法中采用轉換階段的方式篩選候選集中的原子，把一次迭代過程分為多個階段，通過設置一個可變步長的方式取代所選原子數目，隨著步長的增加，實現在稀疏度未知的條件下逐步逼近稀疏度K取得原始信號的精確重構。

　　下列步驟具體說明了該算法的過程：

　　(1) 余量[r0]=y，初始步長s[≠]0，階段j=1，迭代次數k=1，索引值集[Λ=?]，候選集[J=?];

　　(2) 若[rk≤ε1]，則停止迭代，利用所得的原子進行信號重構;否則進入下一步運算;

　　(3) 用公式計算相關系數[ut]：

　　[ut=ujuj=rj，φj，j=1，2，…，N]

　　并從[ut]中找到s個最大值，將對應的索引存入候選集J中，完成原子的第一次篩選;

　　(4) 第二次篩選原子：通過正則化將候選集J中索引值對應的原子的相關系數結果存入集合[J0?J]中，其中原子的相關系數必須滿足式[u(i)≤2u(j)，][其中i，j∈J0];

　　(5) 更新支撐集[ΦΛ]， [Λ=Λ?J0];

　　(6) 用公式[argminy-ΦΛX2]求出信號逼近[X]，同時用公式[rt=y-ΦΛX]更新余量;

　　(7) 如果[rt-rt-1≤ε2]時，j=j+1，s=s・j，返回步驟(3); 否則返回步驟(2)。

　　其中[ε1]與[ε2]分別為迭代終止和階段轉換的閾值，在信號重構過程中通過比較殘差和閾值的關系來判斷是否自動調整當前步長，進入下一個階段或者下一次迭代還是完成信號的重建，從而完成自適應重建過程，避免了一般的貪婪算法由于選擇的稀疏度與信號的實際稀疏度不匹配現象的出現。

　　步驟(4)采用正則化過程進行原子的二次篩選，可以保證未被選入支撐集的原子的能量一定遠小于被選入原子的能量，同時也繼承正則化思想快速的特點，實現信號在稀疏度未知下高速、穩定、精確地信號重建。

　　3 水印的嵌入與提取

　　本文采用256×256的Lena灰度圖作為原始載體圖像，標有“ABCDEF”的64×64的二值圖像作為水印圖像，如圖4(a)、圖4(c)所示，選擇“db1”作為小波稀疏基，觀測矩陣為構造的隨機伯努利矩陣，采用RAMP貪婪算法將稀疏的水印信號重構出來，完成水印的嵌入與提取。

　　3.1 水印的嵌入

　　水印信息的具體嵌入步驟如下：

　　(1) 對原圖像X進行小波多尺度變換[7]，得到含有{LH，HL，HH，LL} 多個高頻成分和低頻成分子帶系數X1;

　　(2)對水印圖像w進行單層小波變換，得到 [{LH1，HL1，HH1，LL1}]四個小波子帶系數w1;

　　(3) 用服從伯努利分布的隨機觀測矩陣[?]分別對稀疏化的水印信息w1的高頻系數[{LH1，HL1，HH1}]進行測量，而低頻[LL1]子帶系數則保持不變;

　　(4) 對觀測后的水印信號w2乘上嵌入強度系數q加到X1的低頻系數上，得到帶水印信息的信號X2，即[X2=X1+qw2];

　　(5) 對X2采用小波逆變換重構形成加入水印后的圖像X3。

　　整個嵌入過程如圖1所示。

　　圖1 數字水印的嵌入

　　3.2 水印的提取 　　水印信息的詳細提取過程如下：

　　(1) 對含水印的圖像X3用小波基實現稀疏化，得到P1;

　　(2) 分別對P1和稀疏化的原始載體圖像X1的對應低頻系數利用加性逆規則求差值得到嵌入水印的低頻系數[LL1];

　　(3) 對水印圖像w1的高頻[{LH1，HL1，HH1}]利用RAMP算法進行重構得到[{LH1，HL1，HH1}];

　　(4) 最后[{LH1，HL1，HH1}]與[LL1]子帶結合一起進行小波反變換得到水印圖像。

　　整個提取過程如圖2所示。

　　圖2 數字水印的提取

　　4 實驗仿真分析

　　為了達到本文算法的預期效果，分別通過了3個實驗進行驗證。實驗一驗證提出的RAMP算法的重構效果，實驗二是驗證此算法下水印的嵌入與提取效果，實驗三通過攻擊測試驗證本文算法的魯棒性。

　　由于在Matlab 2010b下構造的M行N列的伯努利矩陣[7]在仿真實驗時，每次選擇的M行值進行觀測時均不相同，這會影響到圖像重建的效果。因此，為了確保誤差比較小，在同一M值下進行大量實驗，得出重構圖像的峰值信噪比(PSNR)相差會在±0.2 dB，重構時間和互相關系數(NC)為±0.01。下面圖形的結果均為將程序運行3次取其平均值繪制而成的。

　　實驗一：對二值水印的壓縮感知編碼和重建過程進行分析，圖3是單層小波變換后壓縮感知的處理結果，其中采樣率分別為0.3，0.5，0.7和0.9。可以看出，采樣率>0.5 時，重構效果比較好，若降低采樣率，重構圖像將會變得很模糊。隨著采樣系數的增加，重建圖像的質量越高，但運行時間也越長。改進的RAMP算法提高了運算速度，重構時間最長不超過0.2 s， PSNR最高可達34.957 5 dB。

　　圖3 水印圖像的重建效果比較

　　實驗二：本文選擇采樣率為0.7在原始載體中嵌入二值水印圖像，對其不做任何形式的攻擊處理，并從中提取出水印信息[8]，實驗結果如圖4所示。載有水印的圖像很好地被人類視覺系統接受，并沒有引起圖像的失真。分別對嵌入水印的宿主信號、載體圖像和原始水印、提取的水印的性能進行評價，得到PSNR為 36.139 6 dB，NC為0.948 1，滿足數字水印系統的評價標準，有較好的不可感知性和魯棒性。這說明本文提出的RAMP算法具有較好的重構性能，達到本次實驗的效果。

　　實驗三：抗攻擊測試。對含有水印的載體圖像分別進行JPEG壓縮、高斯低通濾波、疊加高斯噪聲和椒鹽噪聲四種攻擊方式來驗證該算法的性能，攻擊后水印的提取結果如圖5所示。分別通過公式計算載體圖像的PSNR和水印的NC，與文獻[9]進行比較，比較結果見表1。

　　通過圖5和表1的結果可以看出：該算法對嵌入圖像的水印有一定的魯棒性，特別是對JPEG壓縮和高斯低通濾波有較好的魯棒性。

　　圖4 水印的嵌入與提取

　　圖5 攻擊下提取的水印

　　表1 不同算法在攻擊下的性能對比

　　5 結 語

　　考慮到小波變換4個子帶系數的不同特性，只對高頻子帶進行壓縮感知，結合RAMP算法完成水印信號的嵌入與提取。通過實驗仿真得到本文方法較之傳統方法圖像重構的PSNR平均提高2～4 dB。再加上本文提出的算法不需要預知稀疏度，算法的通用性得到增強，提高了算法效率[10]。同時，本文在抵御JPEG壓縮、低通濾波等常見攻擊方面擁有很強的魯棒性，保證了水印的安全性，具有較好的抗提取能力。為提高算法的總體性能，后續還將尋求更適合數字水印系統的采樣矩陣和重構算法，努力實現水印的盲提取。

　　參考文獻

　　[1] 陳國法，郭樹旭，李楊，等.基于壓縮感知的數字圖像水印算法[J].現代電子技術，2012，35(13)：98?104.

　　[2] 魏豐，梁棟，張成，等.基于壓縮感知觀測值的數字圖像水印算法[J].安徽大學學報，2013，37(3)：61?68.

　　[3] LI Zhe?tao， XIE Jing?xiong， YU Zu?guo. Compressed sensing based on best wavelet packet basis for image processing [J]. Journal on Communications， 2013， 8(8)：1947?1950.

　　[4] 王澤宇.壓縮感知在數字水印中的應用研究[D].北京：北方工業大學，2013.

　　[5] 張敏.基于壓縮感知的數字水印方法研究[D].武漢：武漢科技大學，2012.