摘要：利用GPS計算衛星位置有兩種方法：其一是從接收機中獲得衛星的廣播星歷，從廣播星歷中提取出有效信息，然后進行衛星位置的計算；其二是從相應的網站中下載得到衛星的精密星歷文件，然后利用拉格朗日插值公式計算衛星位置。由于上述兩種計算衛星位置的方法都存在著一定的缺點，因此本文詳細介紹了切比雪夫多項式標準化衛星軌道的方法。本論文對上述兩種計算衛星位置的方法進行了詳細探討，并對切比雪夫多項式標準化衛星軌道的方法進行了詳細的闡述。并且通過實驗，對上述的方法進行了檢驗，證明上述方法計算衛星位置的可行性。
　　關鍵詞：GPS；廣播星歷；精密星歷；拉格朗日插值公式；切比雪夫多項式；衛星位置
　　前言
　　GPS技術中的一個重要內容就是精確確定GPS衛星軌道。在GPS導航定位中，是將GPS在空中的三維位置作為己知值并廣播給用戶，用戶再根據所測得GPS天線至衛星的距離才能求得自己所處的位置。因此，精確的軌道信息是導航定位的基礎，而對于更精密的定位應用，則需要更精確的衛星軌道。
　　因此，在GPS定位過程中，計算所需時刻GPS衛星的位置是通過接收到的GPS衛星星歷等信息加工和計算而得到的。而計算GPS衛星位置也貫穿在GPS數據處理的始終，具有重要意義。計算GPS衛星位置有兩種方法：利用廣播星歷計算衛星位置；利用精密星歷計算衛星位置。本文將對兩種計算衛星位置的方法進行研究。
　　1利用廣播星歷計算衛星位置公式及簡化
　　根據廣播星歷中衛星電文提供的軌道參數按一定的公式可計算出觀測瞬間GPS衛星在地固系的位置。
　　1）計算衛星運行的平均角速度n
　　衛星運行的平均角速度計算值
　　（1—1）
　　式中為wGS84坐標系中的地球引力常數，且=3.986005/。平均角速度n。加上衛星電文給出的攝動改正數，便得到衛星運行的平均角速度n:
　　（1—2）
　　2）計算歸化時間
　　設t’為接收機接收信號時刻，為信號傳播時間，為衛星至接收機間的距離，c為光速，則衛星發射信號的時刻t為:
　　（1—3）（1—4）
　　然后將觀測時刻t歸化到GPS時間系統
　　（1—5）
　　式中稱為相對于參考時刻的歸化時間。在計算時，應注意是由每星期歷元(星期六/星期日子夜零點)開始計量的。當>302400s時，應減去604800s;當<-302400s時，應加上604800s。
　　3）計算觀測時刻的衛星平近點角
　　因為導航電文中已經給出參考時刻的平近點角，因此
　　（1—6）
　　4）計算觀測時刻的偏近點角
　　根據衛星電文給出的偏心率e和算得的，利用開普勒方程：
　　（1—7）
　　進行跌加計算。
　　解算方法是：首先賦予的初值為=，代入上式解算第一部迭代值。因為GPS軌道偏心率較小，約在0.01左右，所以一般兩次迭代就可以計算出。另外，上述式子中和均以弧度為單位，若以角度為單位則計算公式如下：
　　（1—8）
　　5）計算真近點角
　　根據公式
　　（1—9）
　　則的計算公式為：
　　（1—10）
　　6）計算升角距角
　　（1—11）
　　其中為衛星星歷中給出的近地點角距。
　　7）計算攝動改正項，，
　　（1—12）
　　為升交距的正余弦調和改正項振幅，為軌道傾角的正余弦調和改正項振幅，為軌道半徑的正余弦調和改正項振幅。，，分別為升交距角的攝動量，衛星矢徑的攝動量和軌道傾角的攝動量。
　　8）計算經攝動改正的升交距角，衛星矢徑和軌道傾角
　　（1—13）
　　9）計算衛星在軌道平面坐標系的位置
　　（1—14）
　　10）計算觀測時刻的升交點精度
　　（1—15）
　　其中，，，的值可以從衛星電文中提取，為地球自轉的角速度，為格林尼治恒星時。
　　11）計算衛星在WGS—84坐標系的位置
　　將衛星在軌道平面坐標系的坐標（）坐標轉換，即可算得觀測時刻衛星在WGS—84坐標系的坐標:
　　（1—16）
　　將坐標旋轉矩陣帶入
　　（1—17）
　　其中為極移改正。
　　2利用精密星歷計算衛星位置公式及簡化
　　根據精密星歷提供的數據可以借助插值公式，內插出任意時刻(例如觀測歷元)的衛星坐標。目前比較常用的是拉格朗日插值公式。設在時間軸的n+1個節點上的衛星坐標(x分量)為
　　•••
　　•••
　　則在任意時刻t的函數值的插值公式是
　　ji（2—1）
　　對于等間距的形式
　　（2—2）
　　令
　　則式（2—1）可以改寫為（2—3）
　　同理，對于衛星坐標的y，z分量，分別有
　　（3—21）
　　（3—22）
　　3利用切比雪夫多項式標準化衛星軌道公式及簡化
　　假定在時間間隔t[,+]的衛星星歷用n階切比雪夫多項式逼近(標準化)，其中和分別為開始歷元和擬合時間區間的長度。為了用切比雪夫多項式來標準化衛星軌道，首先應將時間t[,+]變換成t[-1,1]：
　　,t[,+]（3—1）
　　則衛星坐標x，y，z分量可用如下n階切比雪夫多項式表示:
　　（3—2）
　　其中，n為切比雪夫多項式的階數，分別為x坐標分量，y坐標分量，z坐標分量切比雪夫多項式系數。切比雪夫多項式用下面的遞推公式得到：
　　（3—3）
　　根據已知的星歷文件提供的信息，如果是廣播星歷，則利用廣播星歷參數應用第一種方法計算（k=1，2，3，•••，m，mn+1，n為選定的多項式階數）時刻的衛星位置（），組成坐標文件。如果星歷文件為精密星歷，則要分兩種情況考慮(設m為等間隔記錄有衛星坐標的歷元數):
　　①當mn+1時，可以將其視為應用廣播星歷計算得出的衛星坐標文件;
　　②當m<n+1時，對精密星歷提供的坐標數據運用拉格朗日時間多項式進行內插，至少內插n-m+1個時刻的衛星坐標，內插數據與精密星歷提供的坐標數據一起組成軌道標準化所需的衛星坐標文件。
　　為了便于后述步驟的說明，僅以x分量為例加以說明。
　　將（k=1，2，3，•••，m，mn+1）視為觀測值，列出m個誤差方程：
　　(k=1,2,3,•••，m)（3—4）
　　其中和的關系式如式（2—30）所示，的形式如式（2—31）所示，則誤差方程的矩陣展開式為：
　　（3—5）
　　令
　　（3—6）
　　（3—7）
　　則有簡化的矩陣表達式
　　（3—8）
　　應用最小二乘平差法中的間接平差，可以得出法方程為
　　（3—9）
　　則關于x分量的切比雪夫多項式擬合系數為
　　（3—10）
　　至此，X各個分量便為切比雪夫多項式擬合系數。同理，對y，z分量完成上述類似的計算便可以得到關于某一GPS衛星在[,+]時間區間內各坐標分量的切比雪夫多項式擬合系數（i=0，1，2，3•••，n），將（i=0，1，2，3•••，n）記入標準化星歷文件，便可以利用這些系數并估計上述公式計算出[,+]時間區間內任意時刻的衛星坐標。
　　4實例分析
　　為了探討切比雪夫多項式的次數與擬合精度的關系，做了如下實驗。多項式的次數與擬合標準差的關系如表1所示:
　　表1切比雪夫次數實驗結果
　　切比雪夫多項式次數 x分量擬合中誤差（mm） y分量擬合中誤差（mm） z分量擬合中誤差（mm）
　　5 1998.551 1859.442 856.892
　　6 48.898 57.704 16.643
　　7 1.728 1.991 0.265
　　8 4.47E-02 2.368E-02 1.334E-02
　　9 2.95E-04 1.073E-03 3.543E-05
　　10 1.15E-05 1.217E-06 1.185E-05
　　11 3.325E-06 3.020E-07 6.078E-06
　　12 2.271E-06 0.087E-07 2.342E-06
　　13 3.322E-06 2.183E-07 2.556E-06
　　14 3.124E-05 7.983E-06 5.589E-06
　　15 4.639E-05 2.341E-04 5.760E-05
　　由表1可知，在一定的范圍內，多項式次數取得越高，擬合精度越高。但是超出一定的范圍后，多項式次數越高，擬合效果反而越差。
　　為了驗證衛星位置的計算原理。本文用美國加洲7dom0010測站2004年1月1日的廣播星歷直接計算出了衛星位置，同時用8階切比雪夫多項式擬合了IGS網站提供的2004年1月1日0時—3時的精密星歷文件。計算結果如表2所示:
　　表2衛星位置計算結果
　　發射時刻 衛星號 坐標 廣播星歷結果 精密星歷結果
　　33345599.932 5 X -13174602.250 -13174601.192
　　  Y -21118643.979 -21118646.528
　　  Z 9378185.387 9378184.525
　　33345659.932 5 X -13176116.10 -13176114.946
　　  Y -21192873.994 -21192876.759
　　  Z 9210300.257 9210299.234
　　5結論
　　本文主要研究了利用廣播星歷和精密星歷進行衛星位置計算和利用切比雪夫多項式標準化衛星軌道的方法及軟件實現。通過上述的實驗結果及分析可以得出結論：在本程序中，在本程序中，無論利用廣播星歷還是利用精密星歷計算出的衛星位置，都能夠滿足精度的要求。對于上述的衛星位置計算和衛星軌道標準化方法，有下面幾點注意：
　　（1）在應用拉格朗日插值多項式對精密星歷進行所需時刻的插值計算時，由于多項式階數不能取得太高，在一個觀測時間跨度較大的觀測時段內，不能將觀測時段內精密星歷中的所有數據用于插值計算，而只是部分的數據參與了運算，這就白白浪費了一些有用信息。
　　（2）在利用切比雪夫多項式標準化衛星軌道的過程中，在一定的范圍內，多項式次數取得越高，擬合精度越高。但是超出一定的范圍后，多項式次數越高，擬合效果反而越差(雖然擬合的精度還是很高，但對于節省計算量、節省系數存儲空間來說，多項式次數取得高，擬合結果精度反而下降是不可取的。)。
　　參考文獻
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