具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無標度中部分或全部性質的網絡稱為復雜網絡。近年來，很多專家也針對復雜網絡進行了一些研究，本文是一篇網絡工程師論文范文，主要論述了多層網絡中心度在航空網絡中的應用研究。

　　摘要：利用多層復雜網絡理論和方法，構建多層航空網絡，說明其結構特性。將多層網絡中心度應用于航空網絡的研究，找出多層航空網絡的多層中心節點。

　　關鍵詞：多層網絡,多層中心度,航空網絡

　　一、引言

　　近年來，對于復雜網絡的研究已經深入到各個領域，復雜網絡理論在交通、電力、計算機、生物等領域應用廣泛。國內對于復雜網絡的研究多集中在單層的網絡中，隨著對于復雜網絡理論研究的深入，國外學者開始關注多層復雜網絡的研究。

　　多層網絡是由多個網絡或者交互的多個不同實體之間的復雜系統構成[1]。多層網絡的每一層是不同行為、不同屬性的抽象，它是復雜網絡的延伸，它可以用來解決單層網絡中不同網絡或不同實體之間復雜的連接關系，使網絡中的關系更加清晰可見。

　　單層網絡用度、平均路徑長度和介數等指標來描述單層網絡的統計特性，多層網絡也需要相應的指標來描述和衡量。Bródka P最先提出了多層網絡中心度這個指標，并將它應用于多層社會網絡的研究[2]。文中通過分析Web社交網絡中的真實數據，將網絡分為10層，并找出了社交網絡的中心。本文擬將多層網絡中心度應用于多層航空網絡的研究，分析多層航空網絡的鄰居節點，并找出多層航空網絡的中心。

　　二、多層航空網絡的構建

　　1.航空網絡的特征描述

　　航空網絡是指在一定區域內由若干條航線按照某種方式連接組成的復雜系統，包括機場、航線和飛機等要素[3]。多層航空網絡將機場看作節點，將機場之間的航線看作邊，將不同的航空公司看作層，由于只考慮機場之間的連接關系，所以把多層航空網絡抽象為多層非加權網絡。

　　2.多層航空網絡的構建

　　定義：定義多層航空網絡為一個元組。V是一個非空節點集，每個節點代表一個機場;E是邊集，它也是一個元組，對于兩個元組，如果，那么它們位于不同的層，即;L是層集，每一層代表一個航空公司。

　　每個元組是在l層由節點x到節點y連接的一條邊，即機場x和y之間的一條航線，任意兩個節點之間只有一條邊。由于機場間的航線是互通的，所以多層航空網絡是一個無向網絡，因此。

　　對于某一層l的節點集V和邊集E，構成了一個簡單的單層網絡。

　　一個多層航空網絡可以有一個多層圖來表示。圖1是代表一個三層的航空網絡。圖中有5個節點，在層和中，它們相互連接。對于層來說，存在5個連接關系：

　　圖1多層航空網絡示例

　　3.主要統計量

　　(1)鄰居節點。多層網絡是由多個單層網絡組成，因此可以定義為兩個不同鄰居節點集。

　　a.單層鄰居節點。只考慮多層航空網絡中的一層，可以看作為單層網絡，對應的即單層鄰居節點。

　　Nx，1=y：x，y，l∈E

　　x是位于l層的一個節點，x∈V，l∈L。

　　b.多層鄰居節點。多層鄰居節點是在a1≤a≤L層與給定節點x相連接的節點集。

　　MNx，a=y：1：x，y，1∈E≥a

　　在圖1中，節點x的多層鄰居節點為：

　　MNx，1=y，z

　　MNx，2=y，u

　　MNx，3=z

　　(2)多層中心度。中心度代表著節點在網絡中的重要性。多層中心度可以定義為節點x與對應的多層鄰居節點之間的權重總和與層的數量和多層網絡所有節點數的比值。

　　MCDx，a=y∈MNx，awx，y，lm-1L

　　wx，y，l是邊x，y，l的權重，對于本文來講，權重為1。

　　三、實證分析

　　1.多層航空網絡特征描述。

　　本文選取的數據為歐洲四家航空公司的航線數據[4，5]。將位于不同城市的機場作為一個節點，機場之間的航線作為邊，構造了一個多層無向非加權的航空網絡。

　　多層航空網絡中共有335個機場節點，974條邊，如表1所示。其中，如果不考慮層的不同，共有207個節點。其中，有128個節點是重復的，重復的節點意味著不同的航空公司在同一城市均有機場。Lufthansa和Ryanair公司的機場數超過100，也擁有更多的航線。

　　表1每一層的節點數和邊數

　　2.多層鄰居節點

　　圖2是層1的多層鄰居節點分布圖。從圖中可以看到，大部分的節點含有較少的多層鄰居節點，多層鄰居節點的數量超過12的節點數量平均為1～2個，說明Lufthansa公司所在機場的航線只有少數是比較密集的。如圖3所示，超過70%的節點的鄰居節點數少于10，超過30個鄰居節點的節點不到10%。多層鄰居節點的分布體現了多層航空網絡的無標度性。

　　圖2多層鄰居節點圖()

　　圖3多層鄰居節點分布統計()

　　圖4為各層的鄰居節點分布圖，層1和層2分布相似，它們均含有較多的節點和邊。每個層的鄰居節點分布都符合無標度網絡的性質。

　　圖4多層鄰居節點圖()

　　圖5為多層鄰居節點條形圖，鄰居節點的數量以10個單位為分割。從圖中可以看出，隨著范圍的遞進，每層中的節點數量逐步在減少，在鄰居節點數達到(21，30)的范圍之后對應的節點數明顯減少。統計結果顯示，每一層的節點數在不同范圍內呈現出相同的下降趨勢，側面反映出每個航空公司對于機場和航線的拓撲結構相似。

　　圖5多層鄰居節點條形圖

　　3.多層中心度

　　多層中心度MCDx，a取決于多層鄰居節點MNx，a，當MNx，a>0，MCDx，a>0。圖6是第一層中各節點的多層中心度分布，從圖中可以看出，節點多集中在多層中心度為0.02以下的區域，高于0.04的節點較少。節點中心度表明節點在多層網絡中的重要程度。從圖中可以看出，在第一層中只有少數的節點在多層航空網絡中作用很大。 　　圖6多層中心度分布圖()

　　圖7是各層節點的多層分布圖，每一層的分布與第一層的分布類似。圖中多個圖形重疊的節點代表不同航空公司在該城市均有機場。從圖中可以找出多層中心度較高的幾個關鍵節點。表2是每一層節點的多層中心度的變化范圍。

　　圖7多層中心度分布圖(a=1，2，3，4)

　　表2多層中心度范圍

　　層號1234

　　最小值1.21E-31.21E-31.21E-31.21E-3

　　最大值9.59E-21.06E-11.06E-16.55E-2

　　表3給出了節點中心度大于0.5的幾個節點的多層中心度。通過表3可以直觀的看出多層中心度最大的為節點12，總共有8個節點的多層中心度大于0.5。結合多層航空網絡，這8個節點對應的機場就相當于航空網絡中幾個重要的機場，節點12對應的機場即要找的多層航空網絡的中心。

　　表3部分節點的多層中心度

　　節點多層中心度

　　1660.052

　　110.053

　　400.064

　　710.065

　　1080.067

　　20.096

　　380.096

　　120.106

　　四、結論與展望

　　通過分析多層航空網絡的各節點的多層中心度，找出了多層航空網絡的中心節點。未來的主要工作是結合實際情況研究該中心節點的實際意義，可從以下幾個方面進行：

　　(1)在航空公司布局機場時，可優先考慮多層中心節點的布局，同時考慮多層中心度較大的其他節點，以便更好地發展業務;或者在已經布局了多層中心節點時，可提供更優質的服務來增強競爭力。

　　(2)對于航空網絡脆弱性研究方面，優先考慮對多層中心節點提供保護措施。

　　(3)可以將多層中心度拓展應用于其他多層網絡的計算。

　　(4)可以將現有算法進行優化，提高計算效率。(作者單位：濟南大學管理學院)

　　參考文獻：

　　[1]Kivel M， Arenas A， Barthelemy M， et al. Multilayer networks[J]. Journal of Complex Networks， 2014， 2(3)： 203-271.

　　[2]Bródka P， Skibicki K， Kazienko P， et al. A degree centrality in multi-layered social network[C]//Computational Aspects of Social Networks (CASoN)， 2011 International Conference on. IEEE， 2011： 237-242.

　　[3]俞桂杰， 彭語冰， 褚衍昌. 復雜網絡理論及其在航空網絡中的應用 [J]. 復雜系統與復雜性科學， 2006， 3(1)： 79-84.

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