摘 要: 在大數據的時代背景下，電子商務獲得了蓬勃的發展，競爭的激烈程度也愈演愈烈，導致電子商務在競爭資源的同時，也不斷呈現出合作的態勢。構建了電子商務網站協作競爭模型，對模型進行平衡點分析，并通過matlab進行數值模擬。

 

　　關鍵詞: 電子商務;協作競爭;常微分方程;數值模擬

　　隨著大數據時代的到來，電子商務獲得了蓬勃的發展，同傳統商務相比，電子商務具有低成本，信息化效率高等優勢。因此，為爭奪電子商務市場潛在的巨額利潤，阿里巴巴，京東商城等各電子商務網站相繼成立。但是從電子商務的發展來看，市場上極少數的電子商務網站占據著絕大多數的用戶，即電子商務網站市場存在霸主現象。由于用戶數與網站的生存密切相關，因此，對大多數網站而言，重要的是如何能在激烈市場上吸引更多的用戶數。文獻[1]用 Lotka-Volterra 模型描述互聯網的競爭模型，建立了如下網站競爭模型： dxi dt = αixi (βi - xi )-∑ j ≠ i γij xixj ，i = 1,2,…,n (1)其中 αi > 0 ，0 < βi < 1 ，γij > 0 。這里的 xi 是網站 i 的用戶比率，表示 i 網站的用戶量在同類用戶群中所占比率。影響 xi 的因素主要有2個部分：當無其它網站競爭時，xi 以增長系數 αi 增長，最終達到其最大容量 βi ;當有其它網站競爭時，xixj 表示同時使用網站 i 和 j 的用戶比率。 γij xixj 表示由于網站 j 的影響，放棄網站 i 的用戶比率。

　　文獻[2-3]根據電子商務經濟“強者愈強”的馬太效應，對文獻[1]模型進行了修改，并分析了兩個相同網站的競爭情況，此時 α = αi ，β = βi ，γ = γij ， ω = ωij(i,j = 1,2) 。其模型為： ì í î ïï ïï dx1 dt = αx1(β - x1)- γ(1 + ω(x2 - x1))x1 x2 dx2 dt = αx2(β - x2)- γ(1 + ω(x1 - x2))x1 x2 (2)其中 α > 0，0 < β < 1，0 < ω < γ ，xi ≥ 0 。模型(2)同模型(1)相比，增加了 ω (xj - xi ) 項，其作用是體現電子商務網站的“強者更強”的特性。另一方面，文獻[4]基于一系列實際觀測到的生態現象，提出了一類兩種群協作競爭模型。考慮網站之間也會存在一定的協作關系，用 γxixj 表示由于網站 j 的影響，選擇網站 i 的用戶比率。因此，建立如下的電子商務網站協作競爭模型： ì í î ïï ïï dx1 dt = αx1(β - x1)+ γx1 x2 - γω(x2 - x1)x1 x2 ≡ P(x1,x2) dx2 dt = αx2(β - x2)+ γx2 x1 - γω(x1 - x2)x1 x2 ≡ Q(x1,x2) (3)其中 α >0，0 < ω < γ ，0 < β < 1，x1 ≥ 0 ，x2 ≥ 0 。通過對模型(3)平衡點的分析以及相應的數值模擬驗證，說明該電子商務網站協作競爭模型的可行性。

　　1 平衡點的分析

　　基于系統的現實意義，只需在區域 Gˉ={(x1, x2)|0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1} 上討論。由{αx1(β - x1)+ γx1 x2 - γω(x2 - x1)x1 x2 = 0 αx2(β - x2)+ γx2 x1 - γω(x1 - x2)x1 x2 = 0 可得：當 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 時，方程的有 6 個奇點 ： A(0,0)，B(β,0)，C(0,β)，D( αβ α - γ, αβ α - γ)，E(u,v)，F(v,u) ;當 α γ > βω + β2 ω2 + 1 時，這時 E, F 不存在, 方程 有 4 個 奇 點 ：A(0,0)，B(β,0)，C(0,β)，D( αβ α - γ, αβ α - γ) ;當 α γ = βω + β2 ω2 + 1 時，D,E,F 共點。其中 u = α + γ + γ2 - α2 + 2αβγω 2γω ， v = α + γ - γ2 - α2 + 2αβγω 2γω 。分析各奇點的穩定性。奇點的穩定性可通過下面的行列式對應的特征值進行分析。記J(x,y)= é ë ê ù û ú αβ - 2αx1 + γx2 + 2γωx1 x2 - γωx2 2 γx1 + γωx1 2 - 2γωx1 x2 γx2 + γωx2 2 - 2γωx1 x2 αβ - 2αx2 + γx1 + 2γωx1 x2 - γωx1 2 則： det J(0,0)= α2 β2 , tr J(0,0)= 2αβ ， det J(β,0)= -αβ2 (α + γ(1 - βω)), tr J(β,0)= γβ(1 - ωβ)， det J(0,β)= -αβ2 (α + γ(1 - βω)), tr J(0,β)= γβ(1 - ωβ)， det J( αβ α - γ, αβ α - γ)= x2 1 (α2 - γ2 - 2αβγω), tr J( αβ α - γ, αβ α - γ)= 2αx1 βγω -(α - γ) α - γ ， det J(u,v)= x1 x2 3(γ2 - α2 + 2αβγω) 4 , tr J(u,v)= -αβ， det J(v,u)= x1 x2 3(γ2 - α2 + 2αβγω) 4 , tr J(v,u)= -αβ，

　　(1)因為 det J(0,0)> 0, tr J(0,0)> 0 ，所以 A(0,0) 為不穩定結點。

　　(2)因 為 0 < β < 1 ，0 < ω < 1 ，得 出 -αβ2 (α + γ (1 - βω))< 0 ，這時 det J(β,0)< 0 ，det J(0,β)< 0 ，所以 B(β,0) 與 C(0,β) 都是鞍點。

　　(3)當 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1時，α2 - γ2 - 2αβγω < 0 ，這 時 det J( αβ α - γ, αβ α - γ)< 0 ，所 以 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 為鞍點。當 α γ > βω + β2 ω2 + 1 時，α2 - γ2 - 2αβγω > 0 ， βγω -(α - γ)< 0，這 時 ，det J( αβ α - γ, αβ α - γ)> 0, tr J ( αβ α - γ, αβ α - γ)< 0，所以 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 為穩定結點。

　　(4)當 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 時，E, F 存在。此時 γ2 - α2 + 2αβγω > 0 ，可得：det J(u, v)> 0, tr J(v, u) < 0, det J(v,u)> 0, tr J(v,u)< 0 ，所以 E(u,v) 和 F(v,u) 穩定結點。

　　(5)當 α γ = βω + β2 ω2 + 1 時，因為 det J( αβ α - γ, αβ α - γ)= 0，所以 E, F 與 D 重合為高次奇點 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 。討論高次奇點 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 。作變換 xˉ1 = x1 - αβ α - γ ，xˉ2 = x2 - αβ α - γ ，仍以 x1 , ì í î ï ï ï ï dx1 dt = αβ (α - γ) 2 (-γ2 + αγ + αβγω)(x1 - x2)- αx1 2 + γxx2 - x1 2 x2 - x1 x2 2 - αβ α - γ x1 2 - αβ α - γ x2 2 - 2αβ α - γ x1 x2 dx2 dt = αβ (α - γ) 2 (-γ2 + αγ + αβγω)(x2 - x1)- αx2 2 + γx1 x2 + x1 2 x2 + x1 x2 2 + αβ α - γ x1 2 + αβ α - γ x2 2 + 2αβ α - γ x1 x2 (4) ì í î ïï ïï dx1 dt = -α(x1 - x2) 3 - αx2 2 + 2γ(x1 - x2)x2 dx2 dt = αβ (α - γ) 2 (-γ2 + αγ + αβγω)(2x2 - x1)- αx2 2 + γ(x1 - x2)x2 +(x1 - x2) 2 x2 +(x1 - x2)x2 2 + αβ α - γ x 2 (5) ì í î ïï ïï dx1 dt = γ - α 2 (α - γ) 2 2αβ(-γ2 + αγ + αβγω) x1 2 - γ + α 2 (α - γ) 2 2αβ(-γ2 + αγ + αβγω) x2 2 dx2 dt = x2 + Q(x1,x2) (6)再做變換 ξ = x1 + x2 ，η = x2 仍以 x1 , x2 表示 ξ,η ，則系統(4)轉化為: 再做變換 xˉ1 = x1 ，xˉ2 = 2x2 - x1 ，τ = 2αβ (α - γ) 2 (-γ2 + αγ + αβγω) ，仍以 x1 , x2 , t 表示 xˉ1 , xˉ2 , τ ，則系統(5)轉化為：其中 Q(x,y) 為不低于二次的多項式。這時因為 -γ2 + αγ + αβγω = γ(α - γ)+ αβγω < 0 ， 所以 γ - α 2 (α - γ) 2 2αβ(-γ2 + αγ + αβγω) < 0 ，m = 2 為偶數。

　　x2 表示 xˉ1 , xˉ2 ，則系統(3)轉化為：根據文獻[5]可知，D( αβ α - γ, αβ α - γ) 為鞍結點，且包含正 x 軸。根據以上分析，可得：

　　(1)當 α γ > βω + β2 ω2 + 1 時，系統(3)有4個奇點：不穩定結點 A(0,0) ，鞍點 B(β,0) ，鞍點 C(0,β) ，穩定結點 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 。

　　(2)當 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 時，系統(3)有6個奇點：不穩定結點 A(0,0) ，鞍點 B(β,0) ，鞍點 C(0,β) ，鞍點 D( αβ α - γ, αβ α - γ)，穩定結點 E(u,v)和F(v,u)。

　　(3)當 α γ = βω + β2 ω2 + 1 時，系統(3)有4個奇點：不穩定結點 A(0,0) ，鞍點 B(β,0) ，鞍點 C(0,β) ，鞍結點 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 。

　　2 數值模擬

　　以下通過具體的模型來驗證定理的可行性。例1 考慮如下系統: ì í î ïï ïï dx1 dt = x1(0.4 - x1)+ 0.5x1 x2 - 0.15(x2 - x1)x1 x2 dx2 dt = x2(0.4 - x2)+ 0.5x2 x1 - 0.15(x1 - x2)x1 x2 (7)這里相對于系統(3)，α = 1 ，γ = 0.5 ，ω = 0.3 ， β = 0.4 ，這時 α γ = 2 ，βω + β2 ω2 + 1 = 1.1272 ，滿足條件 α γ > βω + β2 ω2 + 1 。所以系統(7)存在穩定結點 D( αβ α - γ, αβ α - γ) = D(0.8,0.8) 。圖 1 是系統(7)具有初值 (x1(0),x2(0))=(0.3,0.8) 解的數值模擬圖。

　　例2 考慮如下系統: ì í î ïï ïï dx1 dt = x1(0.5 - x1)+ 2x1 x2 - 3(x2 - x1)x1 x2 dx2 dt = x2(0.5 - x2)+ 2x2 x1 - 3(x1 - x2)x1 x2 (8)這里相對于系統(3)，α = 1 ，γ = 2 ，ω = 1.5 ， β = 0.5 ，這時 α γ = 0.5 ，βω + β2 ω2 + 1 = 2 ，滿足條件 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 。所以系統(8)存在穩定結點 E(u,v)=(0.9，0.09) 。圖 2 是系統(8)具有初值 (x1(0),x2(0))=(0.3,0.8) 解的數值模擬圖。

　　例3 考慮如下系統: ì í î ïï ïï dx1 dt = 3x1( 1 4 - x1)+ 2x1 x2 - 10 3 (x2 - x1)x1 x2 dx2 dt = 3x2( 1 4 - x2)+ 2x2 x1 - 10 3 (x1 - x2)x1 x2 (9)這里相對于系統(3)，α = 3 ，γ = 2 ，ω = 5 3 ， β = 1 4 ，這時 α γ = 3 2 ，βω + β2 ω2 + 1 = 3 2 ，滿足條件 α γ = βω + β2 ω2 + 1。所 以 系 統 (9) 存 在 鞍 結 點 D( αβ α - γ, αβ α - γ) = D(0.75,0.75) 。圖 3 是系統(9)具有初值 (x1(0),x2(0))=(0.3,0.8) 解的數值模擬圖。

　　3 總結

　　根據平衡點的分析，以及例題所示，當兩個實力相同網站協作競爭時，其結果為：

　　(1)當 α γ ≥ βω + β2 ω2 + 1 時，網站協作競爭呈現為強協作弱競爭的關系，結果是兩個網站最終的市場占有率相同。

　　(2)當 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 時，網站協作競爭呈現為強競爭弱協作的關系，結果是開始時用戶量大的網站占有了更多的用戶量，并最終維持在較高占有率;開始時用戶量少的網站失去了一定量的用戶量，并最終維持在較低的占有率。

　　參考文獻

　　[1]ADAMIC L A,HUBERMAN B A.Power-low distribution of the worldwide web [J]. Science, 2000, 287(8): 2115.

　　[2]李艷會，朱思銘. 一類電子商務網站競爭模型分析 [J]. 中山大學學報, 2003(9): 6 - 10.

　　[3]張正春, 趙建東. 電子商務網站競爭模型分析及其策略 [J]. 數學的實踐與認識, 2010(17), 124 - 130.

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