摘要：本文基于有限元計算的基本概念，對桿系有限元方法進行了具體分析，推導出了具有對稱形式的有限桿單元剛度修正矩陣，與傳統方法進行了分析比較，提出了與有限桿單元法相適應的計算方法。
　　關鍵詞：水平荷載論文，樁基論文，有限元
　　工程中風、海浪、地震、沖擊等橫向荷載對超長樁的影響十分顯著，水平荷載，尤其是縱橫向荷載共同作用下的超長樁研究卻相對匱乏。雖然相關學者嘗試利用不同方法給出傾斜荷載樁的解答及計算方法。然而，相關研究的數值計算過程較為繁瑣，且多采用m法作為土體抗力假設，難以反映土體的非線性特性。
　　1.軸力桿單元
　　承受軸線載荷的等截面直桿如圖1，其中f(x)是軸向的分布載荷(例如重力，離心力等)，P1，P2，…，Pj，…是軸向的幾種荷載。對此桿件進行應力和變形分析時，可以假定應力在截面上均勻分布，原來垂直于軸線的截面變形后仍保持和軸線垂直，因此問題可以簡化為一維問題。如以位移為基本未知量，則問題歸結為求解軸向位移函數u(x)。
　　圖1軸向載荷作用等截面直桿
　　從上述基本假設出發，可以導出承受軸向載荷等截面直桿的基本方程如下：
　　幾何關系     
　　  (1)
　　應力應變關系    
　　     (2)
　　平衡方程     
　　       (3)
　　或       
　　     (4)
　　端部條件     
　　(端部給定位移)；(端部給定荷載)(5)
　　可以將問題轉換為求解泛函的極值問題，其中
　　   (6)
　　式中l是桿件長度，A是截面面積，uj=u(xj)是集中載荷Pj(j=1,2,…)作用點xj的位移。集中載荷Pj可看作是包含在分布載荷f(x)中的特殊情況，為討論方便，后文不再單獨列出解釋。
　　典型軸力桿單元如圖2所示
　　圖2二結點桿單元
　　每個結點i只有一個位移參數ui，單元內位移u(x)可以利用一維Lagrange插值多項式通過結點位移ui的插值表示為：
　　      (7)
　　其中
　　N=[N1N2...Nn]      (8)
　　uea=[u1u2...un]T     (9)
　　其中n是單元節點數，ξ是單元內的自然坐標，其與總體坐標x的關系如下：
　　，     (10)
　　l是單元長度，xc是單元中心點總體坐標，-1≤ξ≤1。Ni即一維Lagrange多項式，對兩結點單元
　　，     (11)
　　將上式代入(3-6)，并利用可以得到有限元的求解方程
　　Ku=P        (12)
　　上式中，，
　　   (13)
　　    (3-14)
　　Ke以顯式積分得出具體數值，表示如下：
　　      (5)
　　2.彎曲梁單元論文
　　承受橫向載荷和彎矩作用的等截面梁見圖3，其中q(x)是橫向作用的分布載荷，P1，P2，…；M1，M2，…分別是橫向集中載荷和彎矩。經典的梁彎曲理論中，假設變形前垂直梁中心線的截面，變形后仍保持為平面，且仍垂直于中心線。從而使梁彎曲問題簡化為一維問題。基本未知函數是中面撓度函數y(x)。梁彎曲問題的基本方程如下：
　　幾何關系      
　　        (16)
　　應力應變關系     
　　       (17)
　　平衡方程      
　　      (18)
　　端部條件為
　　，       (19)
　　或 ，       (20)
　　或，       (21)
　　以上各式，κ是梁中面變形后的曲率；M，Q分別為截面上的彎矩和橫向建立；I是截面彎曲慣性矩；，，，分別是端部給定的撓度，轉動、彎矩和剪力。
　　引入與基本方程相等效的最小位能原理，泛函取最小值
　　  (22)
　　圖3橫向載荷作用下等截面梁
　　圖4二結點梁單元
　　利用二結點Hermite單元，樁身位移y(z)可表示為
　　    (23)
　　      (24)
　　       (25)
　　       (26)
　　     (27)
　　      (28)
　　位移向量ae中y1，y1，θ2，θ2分別為單元結點的水平位移和轉角。
　　利用可以得到有限元的求解方程
　　Ka=P        (29)
　　上式中，，
　　   (30)
　　   (31)
　　上式中ξj和ξk分別為橫向集中載荷和彎矩作用點的自然坐標。
　　3.平面桿件系統
　　對于可能承受軸力和彎矩共同作用的平面桿系，離散后單元的各個特性矩陣應是軸力單元和彎曲單元的組合。一般情況下，結點位移參數表示為：
　　(i=1,2,…,n)     (32)
　　單元剛度矩陣可表示成
　　      (33)
　　其中
　　(i,j=1,2,…,n)     (34)
　　載荷向量按類似方法表示為
　　(i=1,2,…,n)  (35)
　　4.結論
　　本文利用橫向等效載荷的概念考慮軸向力產生的橫向作用，基于彈性力學變分原理，推導出了具有對稱形式的有限桿單元剛度修正矩陣，與傳統方法進行了分析比較，提出了與有限桿單元法相適應的計算方法。
　　參考文獻：
　　蘇靜波,邵國建,劉寧.基于p-y曲線法的水平受荷樁非線性有限元分析[J]巖土力學,2006,27(10):1781-1785
　　洪勇,謝耀峰,張圣平等.水平荷載下單樁有限元模擬結合p-y曲線法分析[J].中國港灣建設,2007(3):5-9
　　趙明華,李微哲,楊明輝,單遠明.成層地基中傾斜偏心荷載下單樁計算分析[J].巖土力學,2007,28(4):670-674
　　趙明華,李微哲,曹文貴.復雜荷載及邊界條件下樁基有限桿單元方法研究[J].巖土工程學報,2006,28(9):1059-1063
　　趙明華,李微哲,楊明輝.成層地基中傾斜荷載樁改進有限桿單元法研究[J].工程力學,2008,25(5):79-84