摘要：本文闡述了被除數(shù)為質(zhì)數(shù)時(shí)產(chǎn)生的循環(huán)小數(shù)的多種奇妙現(xiàn)象，進(jìn)而分析了被除數(shù)為合數(shù)的相關(guān)余數(shù)的規(guī)則性，揭示了自然界存在的一種數(shù)字內(nèi)涵的美，并分析了一個(gè)偶位數(shù)循環(huán)節(jié)不一定具有半九律。
　　關(guān)鍵詞：循環(huán)節(jié)，余數(shù)，互質(zhì)
　　1、產(chǎn)生循環(huán)節(jié)的相關(guān)余數(shù)之間的關(guān)系
　　1.1如表1所示，a/b化小數(shù)中，以b=17為例，用表格列出1/17的循環(huán)節(jié)及其相關(guān)余數(shù)。表格中第一行為循環(huán)節(jié)上的數(shù)字，第二行為相關(guān)余數(shù)。
　　0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7
　　1 10 15 14 4 6 9 5 16 7 2 3 13 11 8 12
　　表1
　　把表1中其相關(guān)余數(shù)從1到10到15…到12的順序依次編為a到a…到a，如表所示中，a是a的2/3倍，即12*2/3=8，同樣，a與a的2/3關(guān)系：可把8還原為2*17+8，即42*2/3=28，28-17=11，如此計(jì)算，a總是a的2/3倍。依次看下去，a也是a的2/3倍。又如：a+a+a=a即：1+10+4=15，則a+a+a=a也成立。再如a+a+a+a=0（注：這里的0是17即b進(jìn)制的個(gè)位數(shù)0），則a+a+a+a=0也成立�？梢钥闯觯涸赼/b化小數(shù)時(shí)，其先后出現(xiàn)的余數(shù)中，如果a與a之間有某種和、差、倍的關(guān)系，則a與a也有這種和、差、倍的關(guān)系。等等。以上是以b為質(zhì)數(shù)17時(shí)產(chǎn)生的現(xiàn)象，當(dāng)b為別的質(zhì)數(shù)時(shí)，同樣會(huì)有這種類似的或別的關(guān)系。結(jié)論：在a/b（b為非2、3、5的質(zhì)數(shù)）化小數(shù)產(chǎn)生的任何一個(gè)循環(huán)節(jié)里，如果依次出現(xiàn)的某順序上相關(guān)余數(shù)之間存在著某種關(guān)系時(shí)，只要符合這個(gè)順序關(guān)系的其它的相關(guān)余數(shù)之間也存在同樣的關(guān)系。
　　1.2若十進(jìn)制整數(shù)Z是一個(gè)由9組成的n位數(shù)，用10、10…到10分別除以b得到相應(yīng)的余數(shù)再分別乘以9后相加，若能被b整除，則Z也就能被b整除。以b=17為例，其除十進(jìn)制10（0≤n≤16）每位上所得的余數(shù)剛好與1/17化小數(shù)過程中所得循環(huán)節(jié)的各個(gè)相關(guān)余數(shù)相同，見表2第二行。即：9*（a+a+…+a）的結(jié)果是17的倍數(shù)才能被17整除，而質(zhì)數(shù)17并不含有9的任何因數(shù)，那么（a+a+…+a）的結(jié)果必為17的整數(shù)倍，(當(dāng)b=17時(shí)，j=b-1=16)。而當(dāng)b=3時(shí)，無(wú)論（a+a+…+a）的結(jié)果是什么，9*（a+a+…+a）的結(jié)果都能被3整除。所以當(dāng)b=3時(shí)，產(chǎn)生循環(huán)節(jié)的相關(guān)余數(shù)之和可以不是3的整數(shù)倍。結(jié)論：在a/b（b為非2、3、5的質(zhì)數(shù)）化小數(shù)中，產(chǎn)生同一個(gè)循環(huán)節(jié)的相關(guān)余數(shù)之和為b的整數(shù)倍。
　　1.3在a/b化小數(shù)中，以1/17為例，用表格分4組依次列出1/17的相關(guān)余數(shù)，每組4個(gè)相關(guān)余數(shù)，如表2
　　1 10 15 14
　　4 6 9 5
　　16 7 2 3
　　13 11 8 12
　　1 10 15 14
　　4 40 60 56
　　16 160 240 224
　　13 130 195 182
　　
　　
　　
　　
　　
　　表2表3
　　表2是1/17所產(chǎn)生的相關(guān)余數(shù)，而表3中，每一列數(shù)中從第一行到第四行之比皆為表2第一列第一行到第四行數(shù)之比即A：A：A：A=1：4：16：13。表3與表2的第一行和第一列數(shù)都相同，根據(jù)整除的理論，由于表2中這些余數(shù)都是同一個(gè)循環(huán)節(jié)的相關(guān)余數(shù)，說明表2中每一行數(shù)字之和都不能被17整除。表3中，設(shè)第一行之和到第四行之和分別為M、M*A/A、M*A/A、M*A/A。由于表3各數(shù)之和是表2各數(shù)之和加上17的整數(shù)倍的結(jié)果，又由整除理論可知表2各數(shù)之和是17的整數(shù)倍,所以表3也是17的整數(shù)倍,而表3四行之和為：M+M*A/A+M*A/A+M*A/A即：M*(A+A+A+A)/A。由于1≤A≤16，A不含有質(zhì)數(shù)17的任何因數(shù),由整除理論可知M不可能是17的整數(shù)倍，所以M/A不含有17的任何因數(shù)，只有(A+A+A+A)之和為17的整數(shù)倍。結(jié)論：在a/b(b為非2、3、5的質(zhì)數(shù))化小數(shù)中，所得的循環(huán)節(jié)的相關(guān)余數(shù)有w個(gè)，w為（b-1）的因數(shù)，若w=q*p成立，則可按其依次出現(xiàn)的順序分成q組p個(gè)，那么無(wú)論任何分法，每一組相同位置的余數(shù)相加和為b的整數(shù)倍，即a+a+a…+a=Z*b(Z為整數(shù))。
　　1.4在a/b化小數(shù)中，所得的任一循環(huán)節(jié)上的數(shù)字按循環(huán)順序如果可以分成q組p個(gè)，則把每組數(shù)字按原循環(huán)順序組成一個(gè)p位數(shù)后再把q個(gè)p位數(shù)加起來(lái)和為T，具有合九律。相關(guān)余數(shù)的第一列之和（A+A+A+……+A）除以b等于整數(shù)Z，當(dāng)Z=1時(shí)，T為p位數(shù)字9組成的數(shù)；當(dāng)1＜Z≤10時(shí)，T是首一位數(shù)字加上尾一位數(shù)字和為9，中間由p-1位數(shù)字9組成的數(shù)；當(dāng)10+1≤Z≤10時(shí),T是一個(gè)n+1位首尾和為n+1位9,中間由p-n-1位9組成的數(shù)；以1/7為例，產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)為142857，共6位，可以分成3組，每組兩個(gè)數(shù)字，即14、28、57，則14+28+57=99；或者分成42、85、71，則42+85+71=198，三組首位相關(guān)相余數(shù)相加為3+6+5=14，Z=14/7=2，2*9=18，首1加尾8即1+8=9。（注：本文中w、p、T含意與此節(jié)里相同）
　　2、除數(shù)為合數(shù)產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)
　　2.1幾種特殊數(shù)的性質(zhì)。
　　真分?jǐn)?shù)a/b中b=b*b：⑴若b=2，b為非2、5的質(zhì)數(shù)時(shí)，a/b=（a*5）/b/10，若（a*5）/b=Z+v,(1≤v＜b),那么a/b=（Z+v/b）/10，Z部分不被包含在循環(huán)節(jié)里；而b=5時(shí)，同理可推。也就是說，b為2或5時(shí)，所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)與a/b[1≤a≤（b-1）]產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)相同。而a中與b互質(zhì)的數(shù)所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)全部可以通過相關(guān)轉(zhuǎn)換成以b為除數(shù)所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)。⑵3是數(shù)字動(dòng)態(tài)形式里9的因數(shù)，當(dāng)b=3，b為質(zhì)數(shù)時(shí)：①化a/b為小數(shù)的過程中不會(huì)出現(xiàn)余-a的情況；②若n=1，b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)上數(shù)字之和為3的整數(shù)倍，且同一個(gè)循環(huán)節(jié)里計(jì)算“半九律”的結(jié)果為“半三或半六律”；③若n=2，b產(chǎn)生的同一個(gè)循環(huán)節(jié)里計(jì)算“合九律”的結(jié)果“合X律”，X為1至8中的任何一個(gè)數(shù)字。④同一個(gè)循環(huán)節(jié)里的任意兩個(gè)與3互質(zhì)的相關(guān)余數(shù)之差皆為3（或9）的整數(shù)倍。
　　2.2在a/b中，1≤a＜b,b=b*b，b和b皆非2或5的質(zhì)數(shù)（以后相同），那么a/b化小數(shù)的過程中會(huì)產(chǎn)生三部分循環(huán)小數(shù)，一部分是由從1到（b-1）中有（b-1）個(gè)含有b為因數(shù)的數(shù)，這些數(shù)與b約去b后成為以a/b化小數(shù)產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)，1≤a≤（b-1）；同樣地，第二部分與第一部分過程一樣，是由a/b化小數(shù)產(chǎn)生的，1≤a≤（b-1）；第三部分是以b為除數(shù)，從1到（b-1）中與b互質(zhì)的數(shù)為被除數(shù)產(chǎn)生的，其能產(chǎn)生（b-1）-（b-1）-（b-1）即（b+1）-（b+b）個(gè)參與這部分循環(huán)節(jié)的數(shù)。從1到b-1中含有b、2b、3b……（b-1）b和b、2b、3b……（b-1）b，通過演算，它們和為：b*（b+b-2）/2，由于b和b皆不為2或5的質(zhì)數(shù)，所以（b+b-2）/2是一個(gè)整數(shù)，由從1到b-1之和是b*（b-1）/2，而（b-1）/2-（b+b-2）/2也為整數(shù)，故第三部分的余數(shù)之和是b的整數(shù)倍。若b是w個(gè)數(shù)字9組成數(shù)的因數(shù)，則b產(chǎn)生的第三部分循環(huán)節(jié)與由a/b（或a/b）產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)組成w位數(shù)除以b（或b）相同，并且w是（b-1）/2-（b+b-2）/2的因數(shù)。以b=133、b=7、b=19為例，由（b+1）-（b+b）=133+1-7-19=108位，但由于w=6，w=18，它們的最小公倍數(shù)為18，所以18個(gè)9組成的數(shù)就能被133整除，所以有6個(gè)18位的循環(huán)節(jié)。當(dāng)a=1時(shí)，循環(huán)節(jié)和相關(guān)余數(shù)如表4。
　　
　　0 0 7 5 1 8 7 9 6 9 9 2 4 8 1 2 0 3
　　1 10 100 69 25 117 106 129 93 132 123 33 64 108 16 27 4 40
　　表4
　　從表4排列可以看出，a+a=7K，而a+a=19K，a-a=7k,a-a=19k,以上K、K、k、k皆為整數(shù)。在133中只含因數(shù)7、19僅各一個(gè)，用1.3節(jié)表2的排列法來(lái)分析，18可分解為2*9、3*6兩種，133的第一行若為6個(gè)余數(shù)1、10、100、69、25、117，和M為7*46，由a+a=7K，則第一行之和M含133的因數(shù)7，而必僅含因數(shù)19的第一列余數(shù)1、106、64之和19*9不能被133整除；若每行9個(gè)，則每行相連6個(gè)的結(jié)果才能被7整除，而9不是6的整數(shù)倍，所以第一行之和不含因數(shù)7，同理，也不含因數(shù)19，所以每列數(shù)字之和必同時(shí)含因數(shù)7、19，能被133整除，所以具有合九律。結(jié)論：⑴在a/b中，1≤a＜b,b=b*b，b和b、b所得的循環(huán)節(jié)位數(shù)分別為w、w、w，則w為w與w的最小公倍數(shù)，若w、w皆為偶數(shù)，設(shè)w/2=s,w/2=r，則第三部分相關(guān)余數(shù)中，a+a為b的整數(shù)倍，a與a之差為b的整數(shù)倍，而a+a為b的整數(shù)倍，a與a之差為b的整數(shù)倍。若w≠w且w≠w，第一行排w（或w）的整數(shù)倍p（或p）個(gè)相關(guān)余數(shù)所得的第一列和只是b（或b）的整數(shù)倍。而所得T有以b（或b）為除數(shù)所得的w/p（或w/p）個(gè)循環(huán)節(jié)組成的部分。⑵若w、w、w皆為偶數(shù)，且w/w、w/w皆為奇數(shù)，那么第三部份循環(huán)節(jié)具有半九律；若w、w有其一為質(zhì)數(shù)或皆為質(zhì)數(shù)，則第三部分同一個(gè)循環(huán)節(jié)里沒有合九律，第j位相關(guān)余數(shù)到第j+w-1位（或j+w-1位）相關(guān)余數(shù)之和為b（或b）的整數(shù)倍即任意連續(xù)w（或w）個(gè)相關(guān)余數(shù)之和是b（或b）的整數(shù)倍。⑶若w是w的公倍數(shù)，則以b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)為數(shù)除以b結(jié)果始終還是b產(chǎn)生的循環(huán)，w位b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)組成的數(shù)除以b結(jié)果還是w/w個(gè)b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)。
　　2.3在a/b中,b=b，則產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)有兩部分，一部分由1到（b-1）除以b產(chǎn)生，另一部分由1到（b-1）中與b互質(zhì)的數(shù)除以b產(chǎn)生。
　　2.4當(dāng)b為n個(gè)質(zhì)因數(shù)（非2、5）的積，從1到b-1中與b互質(zhì)的數(shù)之和總是b的整數(shù)倍，化a/b為小數(shù)所得的循環(huán)節(jié)由2-1個(gè)不同的除數(shù)產(chǎn)生。
　　2.5在a/b中，b為n個(gè)質(zhì)因數(shù)（非2、5）的積，相應(yīng)的循環(huán)節(jié)位數(shù)為w、w、w、w…w，則w為w、w、w…w的最小公倍數(shù)，在b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)里，p為w、w、w、w…w中任何整數(shù)倍時(shí)，所得的T都沒有合九律。當(dāng)w為偶數(shù)，且w與w、w、w…w的比值皆為奇數(shù)時(shí)，與b互質(zhì)產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)才具有半九律。