摘要：在花崗巖地區(qū)進行場地平整設(shè)計，一般將孤石并入剝離層計算，因此最終石方量與計算值存在一定的偏差。現(xiàn)行規(guī)程規(guī)范并無估算孤石方量的方法，因此研究孤石方量的估算方法具有現(xiàn)實意義。本文根據(jù)工程實例采用概率統(tǒng)計方法中的條件數(shù)學(xué)期望進行統(tǒng)計分析，探討孤石方量的估算方法。
　　關(guān)鍵詞：花崗巖孤石，方量估算，概率統(tǒng)計，條件數(shù)學(xué)期望
　　
　　
　　1前言
　　在花崗巖地區(qū)進行場地平整設(shè)計，一般將孤石并入剝離層計算，這種簡化的做法造成了石方量計算的偏差。本文所用工程案例位于廣州市科學(xué)城，工程場地位于覆蓋層厚度大且花崗巖孤石較發(fā)育的剝蝕殘丘，雖然場平設(shè)計時鉆孔間距達到了20m（圖1-1），但最終石方占總方量的比例（13.5%）與計算值（6.5%）仍存在一定的偏差。
　　現(xiàn)行規(guī)程規(guī)范并無估算孤石方量的方法，研究花崗巖孤石的估算方法具有現(xiàn)實意義。地表孤石的分布、塊徑、形狀等和地下的孤石有區(qū)別，本文僅討論地下孤石方量估算方法。
　　本文以鉆孔揭露的水平方向遇孤石率，垂直方向線孤石率構(gòu)造二維隨機向量，通過條件數(shù)學(xué)期望獲得二者的函數(shù)關(guān)系，并進行可靠度估值。最后通過與某工程的平均厚度法計算結(jié)果和施工記錄進行對比，討論計算方法的合理性。
　　2借鑒儲量計算方法的孤石方量估算
　　場平設(shè)計時常將孤石視為夾層，借鑒儲量計算常用的平行斷面法、三角法、平均厚度法粗略估算孤石方量。
　　根據(jù)工程經(jīng)驗，平行斷面法計算的儲量一般＜平均厚度法計算結(jié)果；三角法屬于一種精度更高的平均厚度法，但在鉆孔較多時效率太低，一般不采用，以下只討論平均厚度法。
　　平均厚度法中，剝離層、夾層、有用層相當(dāng)于同底（S）不同高的柱體，該法不考慮孤石的具體形狀，因此計算結(jié)果較為保守。設(shè)開挖面以上，全部鉆孔的孤石平均厚度為，基巖面以上風(fēng)化帶厚度（含孤石）平均值為，則孤石方量，剝離層總方量。
　　
　　圖1-1勘探點平面布置示意圖
　　本工程采用一種簡化的計算方法，通過對各孔孤石線性比例進行加權(quán)平均來獲得v/V，，式中yi為各孔孤石總厚度Hi與基巖面以上風(fēng)化帶厚度Ti（含孤石）的比值，si為各孔基巖面以上風(fēng)化帶厚度，n為鉆孔總數(shù)。可見平均厚度法和加權(quán)平均法是等價的。
　　由于鉆孔不可能把孤石全部揭露，平均厚度法一方面會遺漏未揭露的石方量，另一方面把孤石作為成層土處理又夸大的石方量，因此其計算精度難以評估。為反映孤石分布的不確定性，下文把概率統(tǒng)計理論應(yīng)用到方量估算中來。
　　3基于概率統(tǒng)計的估算方法
　　3.1計算參數(shù)
　　由于孤石之間是相互獨立的，水平方向的“遇孤石率”，垂直方向的“線孤石率”具有一定的統(tǒng)計意義。
　　（1）水平方向計算參數(shù)——遇孤石率p
　　單個鉆孔是否遇孤石的隨機事件可看作貝努利試驗，該事件服從概率為p的兩點分布，而n個鉆孔相當(dāng)于n重貝努利試驗，因此遇孤石的孔數(shù)x服從概率為p的二項分布，即，其數(shù)學(xué)期望E(x)=np。
　　對遇孤石率的分區(qū)統(tǒng)計見表3-1。
　　（2）垂直方向計算參數(shù)——線孤石率y
　　把線孤石率y定義為孤石總厚度H與基巖面以上風(fēng)化帶厚度T（含孤石）的比值，y可直觀地表示孤石在垂向所占比例，根據(jù)鉆探資料，對場地線孤石率y進行分區(qū)統(tǒng)計如表3-1。
　　表3-1遇孤石率、線孤石率分區(qū)統(tǒng)計表
　　分區(qū) pi 線孤石率yi 分區(qū) pi 線孤石率yi
　　行號A 列號B   行號A 列號B  
　　1 1 0.1111 0.1933 2 3 0.1667 0.1053
　　1 2 0.1667 0.5805 2 4 0.2500 0.1049
　　1 3 0.3333 0.2513 3 1 0.2000 0.0559
　　1 4 0.3333 0.3885 3 2 0.2857 0.1736
　　2 1 0.2500 0.1452 3 3 0.0000 0.0000
　　2 2 0.0000 0.0000 3 4 0.3333 0.0697
　　根據(jù)統(tǒng)計成果，作線性孤石率y密度函數(shù)、分布函數(shù)的核密度估計曲線圖，與理論正態(tài)分布進行對比如圖3-1。
　　
　　由圖3-1，y核密度估計曲線應(yīng)服從對數(shù)正態(tài)分布[1]，為簡化分析，擬采用正態(tài)分布近似地描述y的分布規(guī)律。
　　對y作擬合優(yōu)度檢驗，假設(shè)檢驗1：y服從正態(tài)分布，檢驗結(jié)果雖接在接受域內(nèi)（表3-2），但為負值顯然不合理。
　　表3-2y分布函數(shù)的假設(shè)檢驗
　　統(tǒng)計分級 頻度ni 各分級
　　
　　拒絕域≥
　　
　　結(jié)果
　　0-6 6 0.154676 -10.3831 5.991465 接受
　　6-11 8 0.16229   
　　11-30 6 0.461464   
　　30-60 1 0.059399   
　　若以y的均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差為正態(tài)分布參數(shù)，對y作Kolmogorov-Smirnov雙側(cè)檢驗，其方法是根據(jù)樣本經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(y)和正態(tài)分布函數(shù)N(y)構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量，在顯著水平0.05下，求得臨界值KS0.05=0.2873＞KS=0.271，概率p=0.0747，雖然非常接近拒絕域，但仍接受了正態(tài)分布的假設(shè)。
　　y近似服從正態(tài)分布是下文計算和討論的重要前提。
　　3.2基于條件數(shù)學(xué)期望的計算方法
　　對x進行標(biāo)準(zhǔn)化變換，則服從正態(tài)分布，因y近似服從正態(tài)分布，隨機向量(、y)服從二元正態(tài)分布，設(shè)的均值和方差分別為、，y的均值和方差分別為、。當(dāng)已確定，則可通過條件數(shù)學(xué)期望和描述(、y)的統(tǒng)計學(xué)特征。
　　對場地各分區(qū)的、y及其相關(guān)系數(shù)r統(tǒng)計成果見表3-3。
　　表3-3遇孤石率、線性孤石率統(tǒng)計表
　　統(tǒng)計項目 p 
　　y 、y相關(guān)系數(shù)r
　　統(tǒng)計個數(shù) 12 12 12 0.3438
　　max 0.3333 0.9766 0.5805 
　　min 0.0000 -1.4253 0.0000 
　　平均值
　　0.2025 -0.0368 0.1724 
　　樣本標(biāo)準(zhǔn)差
　　0.1190 0.7131 0.1687 
　　全場平均 0.1912 － 0.2111 
　　方量估算與平均厚度法采用同樣的假設(shè)，全場地揭露孤石的面積為p*S，孤石所占厚度為y*，為基巖面以上風(fēng)化土和孤石的總厚度平均值，則孤石體積為v=φpSy，基巖面以上的總方量為V=S。式中φ為形狀系數(shù)，取值0.526（橢球體）～0.67（圓柱）～1（六面體），因此孤石體積占基巖面以上總方量的比例為v/V=φpy。為方便與平均厚度法比較，取φ=1。
　　因，、n、x確定時，遇孤石率p也是定值，。另有，式中、、、、、已知，因此E(v/V)也是的線性函數(shù)，可以用均值的置信區(qū)間描述E(v/V)的置信區(qū)間。
　　因服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，因此當(dāng)顯著水平為，其均值的單側(cè)置信區(qū)間界限值為，取，取全場地遇孤石率，n取全場地參與統(tǒng)計的鉆孔數(shù)68，算得，界限值為0.2696。
　　將各參數(shù)代入，算得。
　　利用分區(qū)統(tǒng)計成果計算孤石的比例，即，，。
　　3.3對計算結(jié)果的討論
　　（1）與平均厚度法的對比
　　考慮各分區(qū)p、y平均值等于全場地p、y平均值的情況，此時，，取，，有，該結(jié)果與平均厚度法算得的孤石比例v/V=0.0415吻合，此時基于條件數(shù)學(xué)期望的計算方法退化為平均厚度法。
　　，主要原因是統(tǒng)計樣本數(shù)（鉆孔數(shù)）較少，通常分區(qū)數(shù)達到大樣本（＞30）的情況下，統(tǒng)計量才以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為極限，即，另外y的統(tǒng)計樣本數(shù)只有13個，參數(shù)、與其真值有一定偏差；次要原因是各分區(qū)數(shù)據(jù)的離散性以及鉆孔數(shù)的不均勻性，它造成各分區(qū)p、y平均值不等于全場地p、y平均值的情況。
　　基于條件數(shù)學(xué)期望的計算方法優(yōu)勢在于可以通過遇孤石率p對孤石比例進行可靠度估值，它考慮了估計量可能的誤差，這一點是平均厚度法無法考慮的。
　　（2）與施工記錄對比
　　根據(jù)該工程勘測報告，以平均厚度法算得的基巖占總方量比例為2.4％，孤石占總方量比例為4.1％，地表孤石量未進行估算，近似地提出總石方量約占10％。根據(jù)施工記錄，按照橢球體計算的地上、地下孤石方量＋基巖石方量約占總方量13.5％。
　　假設(shè)施工記錄是準(zhǔn)確的，則以估算地下孤石方量更合理，這樣地下孤石＋基巖方量約占9.6％，與施工記錄更接近。但值得注意的是發(fā)生概率僅為5％。
　　反算施工記錄石方比例13.5%的發(fā)生概率，，即發(fā)生了小概率事件，這顯然是不合理的，施工記錄的準(zhǔn)確性應(yīng)受到質(zhì)疑。
　　由于施工記錄的測量過程、精度和可信度未得到巖土專業(yè)的確認，它對計算方法的檢驗作用是有限的，因此置信度的合理取值需要經(jīng)過更多工程實例的檢驗方能確定。
　　（3）形狀系數(shù)的取值
　　為與平均厚度法作對比，本文取。由于孤石的形狀一般是介于橢球和棱角被剝蝕的六面體之間，有條件的工程應(yīng)現(xiàn)場調(diào)查成果選取合適的值，或以施工記錄反算值。
　　（4）給定y時的條件數(shù)學(xué)期望計算方法
　　同理還可以通過以遇孤石率y對對孤石比例進行可靠度估值，由于y只是以正態(tài)分布近似描述，估值精度較低。由圖3-1，在區(qū)間，正態(tài)分布的y估值＞實測值，在這個區(qū)間內(nèi)以計算是保守的，超出此區(qū)間時正態(tài)分布的y估值就不保守了。解決的方法是對y也進行標(biāo)準(zhǔn)化變換，則其標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量服從T分布，其自由度為分區(qū)數(shù)-1，由于計算比較復(fù)雜，本文未考慮。
　　4結(jié)論
　　(1) 遇孤石率通過標(biāo)準(zhǔn)化變換后，可與線孤石率構(gòu)成二維隨機向量，通過其條件數(shù)學(xué)期望可獲得兩者的函數(shù)關(guān)系。
　　(2) 仿照平均厚度法方量計算的假設(shè)，可通過遇孤石率、線孤石率的函數(shù)關(guān)系，求得孤石比例的數(shù)學(xué)期望，并作可靠度估值。
　　(3) 基于條件數(shù)學(xué)期望的計算結(jié)果與平均厚度法吻合，說明計算方法是合理的，且平均厚度法是基于條件數(shù)學(xué)期望計算方法的一個特例。
　　(4) 基于條件數(shù)學(xué)期望的計算方法優(yōu)勢在于可以通過遇孤石率對孤石比例進行可靠度估值，相比平均厚度法，以可靠度估值計算的土石比與施工記錄更接近。
　　參考文獻
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