摘要：對于直線、緩和曲線、圓曲線道路中邊樁坐標和切線方位角，可以采用積分法來計算，并采用CASIO編程實現在施工測量中的計算，還提出了幾種改進方法，大大的提高了測量計算的效率。
　　關鍵詞：積分法；復合辛普森公式；施工測量；平面坐標；CASIO計算器編程；求和函數
　　施工道路中的線型不外乎三種，即直線、緩和曲線和圓曲線，隨著全站儀在工程測量中的普及，坐標放樣法在工程測量中應用的越來越多，因此如何快速準確的計算出施工線路的坐標就顯得特別重要了，采用的積分法來計算工程中的平面數據具有以下特點：
　　（1）對于上面說的三種線型有統一的計算公式；
　　（2）計算的方向是可逆的，既可沿著線路里程遞增計算，也可沿著里程遞減計算。
　　1線路坐標計算的積分通用公式
　　1.1坐標和方位角的計算模型
　　圖1中樁點與線路示意圖
　　如圖1，設有一段曲線（可以是直線、緩和曲線、圓曲線中的任意一種，直線可以看成是曲線的特殊情況）的起、終點分別為A、B，在工程中，A、B的半徑和里程都是已知的，分別為、、、，線上起點A的坐標是已知的，為、，起點A處的方位角，現在求里程為的點P的方位角和平面坐標（、，）三個數據，下面我們求這三個數據。
　　1.1.1P點的方位角
　　我們把在AP段的曲線偏角用表示，則，由圖1中可知，對曲線AP段曲線進行微分有公式：，此式中，中方位角單位都為弧度。
　　P點的方位角：，曲線左偏為“-”，右偏為“+”。
　　又因為：，因為，對積分得P點的方位角公式：
　　（1）式
　　曲線左偏為“-”，右偏為“+”
　　1.1.2P點的平面坐標（、）
　　由圖1可知，對AP段的弧線微分，弧長和X、Y存在以下關系，，積分后將方位角公式代入得P點的平面坐標公式：
　　（2）式
　　1.2用（1）式、（2）式條件
　　要利用（1）式、（2）式求未知P點的方位角，平面坐標（、，），要滿足以下條件：
　　（1）必須知道八個已知數據，起點坐標（、），起點方位角，起點里程，起點半徑為，終點里程，終點半徑，曲線的偏向（左偏為“-”，右偏為“+”）；
　　（2）角度必須采用弧度。
　　2線路中樁坐標計算的復合辛普森通用公式
　　在施工測量中，測量工程師一般采用CASIOfx-4850、CASIOfx-5800計算器計算線路的中樁坐標，但由于這兩種計算器本身的原因，對積分的速度還很緩慢(經過實踐得出：成功積分一次需3s以上)，而這兩種計算器都對一般的數學函數計算速度較快，因此我們對以上積分公式利用復合辛普森公式進行展開，在保證精度的前提下提高計算的速度。
　　2.1復合辛普森公式
　　辛普森公式的三點式為：（3）式
　　但如果用這個公式將積分展開，但為了提高展開后的精度，我們將定積分的積分區間[a,b]等分為2m段，則步長，在一個區間應用三點辛普森公式，得復合辛普森公式：
　　（4）式
　　2.2平面坐標的復合辛普森公式
　　公式（1）利用復合辛普森公式展開得平面坐標的復合辛普森公式：
　　（5）式，式中的
　　注：左偏為“-”，右偏為“+”
　　2.3平面坐標復合辛普森公式的實用公式
　　復合辛普森公式的截斷誤差為：
　　
　　由于我們工程測量上即可滿足施工要求，當線路為半徑大于50m的曲線時，m取6即可達到mm精度。
　　因此，m=6時，公式（1）利用復合辛普森公式可得下面的公式（6）：
　　 在CASIOfx-4800、CASIOfx-4850、CASIOfx-5800計算器中，已經含有求和公式，因此我們可以在編程時，直接利用此公式計算。
　　注：左偏為“-”，右偏為“+”
　　
　　4應用CASIO計算器編程
　　用CASIOfx5800計算器，利用上面的三種公式（積分公式、復合辛普森公式、復合辛普森公式展開式），實現平面測量數據的計算。
　　4.1CASIOfx5800計算器積分法公式編程 
　　利用積分法公式，在CASIOfx5800計算器上編程，計算曲線（或直線）上任意一點的平面坐標和方位角的程序為：
　　"K(QD)+"?A："K(ZD)+"?B："R(QD)"?C："R(ZD)"?D："X(QD)"?E："X(QD)"?F："F(QD)"?G："P(L=-1，R=1，Z=0)"?H：S=B-A：U=（C-D）÷(CDS)：V=1÷C：LbI1："K+"?B：S=B-A："FWJ="：G+180H(VS+US^(2)÷2)÷Π→I◢E+∫（cos(G+180H(VX+UX^(2)÷2)÷Π,0,S）→X◢F+∫（sin(G+180H(VX+UX^(2)÷2)÷Π,0,S）→Y◢Goto1：
　　4.2CASIOfx5800計算器復合辛普森公式的求和函數編程 
　　利用復合辛普森公式的求和函數，在CASIOfx5800計算器上編程，計算曲線（或直線）上任意一點的平面坐標和方位角的程序為：
　　"K(QD)+"?A："K(ZD)+"?B："R(QD)"?C："R(ZD)"?D："X(QD)"?E："X(QD)"?F："F(QD)"?G："P(L=-1，R=1，Z=0)"?H：S=B-A：U=（C-D）÷(CDS)：V=1÷C：LbI1："K+"?B：S=B-A："FWJ="：G+180H(VS+US^(2)÷2)÷Π→I◢E+S（cos(G)+cos(I)+2∑(cos(G+180H(VSX÷6+U(SX)^(2)÷72)÷Π),X,1,5)+4∑(cos(G+180H((2X-1)VS÷12+(2X-1)^(2)US^(2)÷288)÷Π),X,1,6)÷36→X◢F+S（sin(G)+sin(I)+2∑(sin(G+180H(VSX÷6+U(SX)^(2)÷72)÷Π),X,1,5)+4∑(sin(G+180H((2X-1)VS÷12+(2X-1)^(2)US^(2)÷288)÷Π),X,1,6)÷36→Y◢Goto1：
　　4.3CASIOfx5800計算器程序的說明 
　　程序中符號的意義
　　A——曲線起點里程；B——曲線終點里程/待求點里程；C——曲線起點半徑；D——曲線終點半徑；E——曲線起點X坐標；F——曲線起點Y坐標；G———曲線起點切線方位角H——曲線偏向（左偏時取－1，右偏時取1，直線時取0）,X——中線點X坐標；Y——中線點Y坐標；
　　注意事項：
　　1、此程序對于直線、緩和曲線、圓曲線都適用；
　　2、緩直點半徑輸入1000000；
　　3、此程序輸入已知數據完畢后，可以不斷循環的計算線上各個中樁的坐標和方位角。
　　5應用實例
　　錯草溝隧道位于遼寧省丹東市寬甸縣牛毛塢鎮與大川頭鎮之間，走向南西240°左右。隧道左線起迄樁號K90+690～K93+940，長3250m。現以左線隧道中的一段緩和曲線為例，有已知數據如下：
　　表1已知數據表
　　 里程 半徑 偏向 X坐標 Y坐標 方位角
　　起點 K93+211.357 2500 左偏 4531059.634 482519.041 210°05′21.05"
　　終點 K93+511.357 10^7    
　　經計算結果如下：
　　表2成果對照表
　　里程
　　樁號 圖紙逐樁表 積分公式 復合辛普森公式(m=6)
　　 坐標X 坐標Y 坐標X 坐標Y 坐標X 坐標Y
　　K93+240 4531034.771 482504.819 4531034.772 482504.819 4531034.772 482504.819
　　K93+280 4530999.810 482485.384 4530999.811 482485.385 4530999.811 482485.384
　　K93+320 4530964.612 482466.382 4530964.613 482466.382 4530964.613 482466.382
　　K93+360 4530929.222 482447.740 4530929.222 482447.740 4530929.222 482447.740
　　K93+400 4530893.682 482429.384 4530893.683 482429.384 4530893.683 482429.384
　　K93+440 4530858.034 482411.240 4530858.035 482411.240 4530858.035 482411.240
　　K93+480 4530822.317 482393.232 4530822.318 482393.231 4530822.318 482393.231
　　K93+500 4530804.445 482384.255 4530804.446 482384.254 4530804.446 482384.254
　　6結束語
　　雖然復合辛普森公式比較復雜，在利用計算器編程計算時，有一些麻煩，但在較高級的CASIO積分功能強大，因此，直接利用積分公式進行坐標計算就很方便了。
　　參考文獻：
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