摘要：求解截面幾何性質是一般結構分析的基礎，對于普通的簡單截面可以用解析方法求解，而對于任意復雜截面則必須采用數值方法，本文探討了一種基于三角形單元的截面性質求解方法。
　　關鍵詞：截面幾何性質，數值方法
　　1引言
　　從材料力學的知識可知，截面幾何性質的解析算法為積分形式，除了極少數規則形狀截面，如圓形、矩形可簡化成多項式形式以外，大部分非規則形狀截面的幾何性質都難以甚至不可能簡化成多項式形式，這給應用帶來了不小的麻煩，所以尋找數值方法來計算截面幾何性質變得非常現實和必要。數值方法的基本原理就是先將任意形狀的幾何圖形用多邊形擬合，多邊形的邊數根據精度需要確定，再將此多邊形離散成小的規則幾何圖形如是矩形單元（如圖1.1）或者正方形單元（如圖1.2），然后對每個小單元分別計算截面幾何性質，最后通過移軸定理，將每個小單元的截面性質疊加起來，最終得出整個截面的幾何性質。但是把任意圖形離散成三角形單元則能以較小的單元數量得到較高的計算精度，本文推導了將任意截面離散成三角形的幾何性質算法公式和數值算法。
　　2矩形單元和正方形單元的缺點
　　圖2.1是采用矩形單元來計算截面幾何性質的原理圖，即將截面分割成寬度相等（如圖中的S）的長條，然后將每個長條近似成矩形，這種方法要得到比較滿意的精確結果，必須將單元分得足夠細（即矩形寬度要小），否則會帶來不小的誤差，比如圖2.1中的A、C兩個單元，形狀和標準的矩形相差甚遠，如果要強制把它們近似成矩形，就會帶來不小的誤差。另外A、C單元剛好原離形心，所以它們對整個截面的幾何性質影響也比在中間的B單元要大，但是卻得不到比較精確的解。
　　
　　圖2.1矩形單元法圖2.2正方形單元法
　　圖2.2是采用正方形單元來計算截面幾何性質的原理圖，顯然，在細分成同樣寬度的情況下，該方法精度是高于矩形單元法的，但是，代價就是平方倍的增加了計算量。對于圖2.1計算量僅27個單元，而對于圖2.2計算量卻達到521個，計算量大大增加。另外，對于位于幾何圖形邊緣的單元，如D、E單元近似為正方形也會帶來誤差，當然，可以采取一定措施來消除這種誤差，比如超過1/2正方形的單元就當成正方形（如D單元），不超過1/2正方形的單元就忽略不計（如E單元）。這樣正負相抵，誤差大大減小。除非一些極端情況，位于邊緣的單元全部是超過1/2正方形的，或者是全部都沒有超過1/2正方形的，所以這種方法有時候也會帶來不小的誤差。
　　為了提高數值計算的精度，不得不更進一步的細分單元，對于復雜圖形（如圖2.1或2.2中的那種圖形），這種做法倒不會太浪費，但如果對于簡單圖形（如圖2.3或2.4那種圖形），過多細分單元顯得有點浪費。如圖2.3這樣的五邊形，如果分成29個矩形單元，可得面積為36819.76，如果按右邊分成413個單元，可得面積為36900，而該多邊形的精確面積為36980.48，兩種方法的誤差分別為-0.43%和-0.22%。相對于采用矩形單元，采用正方形單元，單元數量增加了14.2倍，精度只提高了0.21%。詳其它參數詳見表2.1。
　　表2.1
　　 采用矩形單元時的參數 采用正方形單元的參數 精確的參數 采用矩形單元的誤差 采用正方形單元的誤差
　　單元數量 29 413 -- -- --
　　面積(m2) 36819.76 36900 36980.48 -0.43% -0.22%
　　Wx(m3) 730535.54 715152 712979 2.46% 0.30%
　　Wy(m3) 1020968.58 1022214.16 1026130.54 -0.50% -0.38%
　　Ix(m4) 88164573.65 87552920.06 88303989.31 -0.16% -0.85%
　　Iy(m4) 143595970.93 147168367.25 147049939.81 -2.35% 0.08%
　　
　　
　　圖2.3矩形單元法（29個單元）圖2.4正方形單元法（413個單元）
　　那有沒有更好的單元劃分方法呢？下面就討論一種基于三角形單元劃分的數值方法。
　　3三角形單元算法的原理
　　正如上述討論的，采用矩形單元或者是正方形單元，要么單元過多，計算量偏大，要么精度不高，其原因就是因為我們采用的單元只是多邊形的近似。如果將多邊形離散成三角形單元，則可以大大減少這種因近似帶來的誤差。如圖3.1所示，將多邊形離散成三角形單元，不僅單元數量大大減少，而且計算精度也大為提高，根據圖3.1劃分的單元計算得到的多邊形面積為36980.48，誤差為0.0%。
　　
　　圖3.1三角形單元（5個單元）圖3.2形心
　　
　　3.1材料力學公式
　　常用的截面幾何性質有如下幾種：
　　3.1.1形心（如圖3.2）
　　公式如下：
　　
　　3.1.2靜矩
　　公式如下：
　　
　　3.1.3慣性矩
　　公式如下：
　　
　　
　　
　　3.2三角形單元截面性質的推導
　　推導之前，做如下假定，三角形的一個頂點位于坐標原點（如圖3.4），至于不在坐標原點的情況（如圖3.3），可以通過坐標變換，將其轉換到坐標原點上。假設XOY平面上任意三角形三個頂點的坐標分別為：O'（xo,yo)，A(xa,ya)，B(xb,yb)。我們規定，xo≤xa≤xb，現通過坐標變換，將O'點作為新坐標系的原點，則得到此三角形在新坐標系xO'y下的坐標O'(0,0)，A（xa-xo，ya-yo），B（xb-xo,yb-yo）。
　　
　　圖3.3整體坐標系下的三角形圖3.4局部坐標系下的三角形
　　經推導，得到如下關于三角形局部坐標軸xO'y的截面參數：
　　（1）面積：         ……（公式1）
　　（2）對于x軸的靜矩:      ……（公式2）
　　                 ……（公式3）
　　              ……（公式4）
　　（3）對于y軸的靜矩:       ……（公式5）
　　  ……（公式6）
　　              ……（公式7）
　　（4）形心：             ……（公式8）
　　               ……（公式9）
　　（5）對于x軸慣性矩：      ……（公式10）
　　
　　 ……（公式11）
　　              ……（公式12）
　　（6）對于y軸慣性矩：       ……（公式13）
　　   ……（公式14）
　　              ……（公式15）
　　以上公式中xa，xb，xc，ya，yb，yc均為坐標，ka，kb，kab均為斜率，其中：
　　ka=ya/xa
　　kb=yb/xb
　　kab=(ya-yb)/(xa-xb)
　　3.3任意圖形截面性質的推導
　　對于任意復雜圖形的截面性質，只需要將各個小三角形單元的幾何性質“疊加”起來。但是不是普通的相加，方法如下：
　　（1）面積：……（公式16），其中n為三角形單元總數，Ai為各個三角形單元面積，按公式1計算；
　　（2）形心:         ……（公式17）
　　……（公式18），其中n為三角形單元總數，Ai為各個三角形單元面積，按公式1計算；
　　（3）對于x軸的靜矩:         ……（公式19）
　　（4）對于y軸的靜矩:         ……（公式20）
　　（5）對于x軸慣性矩：……（公式21），其中n為三角形單元總數，Ixi為各個三角形單元對于x軸的慣性矩，按公式10~12計算；
　　（6） 對于y軸慣性矩：……（公式22），其中n為三角形單元總數，Iyi為各個三角形單元對于y軸的慣性矩，按公式13~15計算；
　　4結語
　　本文推導了任意幾何圖形劃分成三角形單元時的截面性質公式。并比較了這種方法相對于其他方法的優缺點。本方法算法簡單、快速、精確，容易編制成計算機程序，方便使用。
　　參考文獻：
　　[1]蘇翼林主編《材料力學》天津大學出版社2001.6
　　[2]同濟大學數學教研室主編《高等數學》高等教育出版社第四版
　　[3]郝際平鐘煒輝《薄壁桿件的彎曲與扭轉》高等教育出版社2006.9