摘要：針對Compertz模型的參數(shù)估計問題，提出了一種數(shù)學(xué)處理方法，將需要求解三維優(yōu)化問題簡化成求解一元非線性方程問題，并給出了求解該一元方程的解區(qū)間搜索算法和二分法求解算法。實際表明，該算法不僅計算過程穩(wěn)定，計算速度快，而且計算誤差小。本文嘗試用Compertz模型算法解決實際生產(chǎn)中抽油機單井熱洗周期難確定、無法計算問題。
　　關(guān)鍵詞：Compertz模型；參數(shù)估計；二分法；熱洗周期；含蠟沉積物；懸點最小載荷
　　
　　中圖分類號：TE933文獻標(biāo)識碼：A文章編號：
　　Compertz模型在石油地質(zhì)研究、油田開發(fā)指標(biāo)預(yù)測等領(lǐng)域有很多應(yīng)用[1,2]，能夠描述具有反S型曲線特征的一大批實際數(shù)據(jù)。Compertz模型的參數(shù)估計問題是一個三維數(shù)值優(yōu)化問題，一般算法難以給定合適的迭代初始值、容易收斂于局部極小點。本文遵循降維思想，給出了Compertz模型參數(shù)估計的一個新的算法。利用Compertz模型參數(shù)估計的新算法，擬合計算懸點最小載荷與時間之間的函數(shù)關(guān)系，從而計算得出熱洗周期。
　　一參數(shù)估計方程
　　Compertz模型：，（1）
　　其中，是時間變量，是待定常數(shù)(),需要用測量數(shù)據(jù)來估算。
　　假設(shè)測量數(shù)據(jù)為。記：，；，（2）則確定常數(shù)的任務(wù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最小值問題。
　　從式(2)求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：
　　；
　　
　　函數(shù)有極小值的必要條件是其偏導(dǎo)數(shù)等于0，所以：
　　（3）；，（4），（5）
　　式中：，，，
　　，，
　　顯然，和都是僅與參數(shù)c有關(guān)的單變量函數(shù)，而方程組（3～5）關(guān)于參數(shù)a和b是線性的。從式（4～5）得到，（6）；，（7）
　　將式（6～7）代入式（3）得到：
　　，（8）
　　記式（8）式左邊的函數(shù)為，則方程（8）是關(guān)于未知數(shù)c的一元方程。從方程（8）求出未知數(shù)c之后，分別代入式（6～7）即可求出參數(shù)a和b。稱方程（8）參數(shù)估計方程。
　　二參數(shù)估計方程的數(shù)值求解
　　易知。如果方程有正實數(shù)解，根據(jù)函數(shù)連續(xù)性定理，必定存在一個區(qū)間，使得函數(shù)在該區(qū)間端點的函數(shù)值異號。如果能夠找到這樣的區(qū)間，則根據(jù)二分法[5]的使用條件，可以在這個區(qū)間上使用二分法求方程的精確數(shù)值解。給定一個較大的正實數(shù)，假設(shè)方程的解滿足。再給定一個步長，搜索解區(qū)間的算法如下。
　　（1）算法1（解區(qū)間搜索算法）：令，計算函數(shù)值：；令，計算函數(shù)值；若，則解區(qū)間即為，停止；若，則搜索失敗，停止；令，，轉(zhuǎn)第（2）步。如果步長足夠小，則算法1一般能夠找到一個有解區(qū)間。當(dāng)執(zhí)行算法1之后沒有找到有解區(qū)間，可能原因是步長不夠小。解決這個問題是方法是對步長進行自適應(yīng)控制。設(shè)是任意小的正數(shù)，是給定的步長減小因子。
　　（2）算法2（自適應(yīng)步長解區(qū)間搜索算法）：給定初始步長；使用算法1求解區(qū)間。若算法能成功求出解區(qū)間，則停止；若，則搜索失敗，停止；令，轉(zhuǎn)第（2）步。假設(shè)通過算法2得到了解區(qū)間，對應(yīng)的函數(shù)值分別是和，應(yīng)該滿足。再給定誤差控制參數(shù)。
　　（3）算法3（二分法求解算法）：令，求函數(shù)值；若，則令，，轉(zhuǎn)第（1）步；若，則令，，轉(zhuǎn)第(1)步；若，則即為方程的解，停止。
　　三抽油機單井熱洗周期估計的應(yīng)用
　　1適用性分析
　　抽油機懸點最小載荷公式，（9）；
　　其中，，（10）
　　，（11）
　　將（10）式、（11）式代入（9）式，得
　　，（12）則可由非線性表出。
　　又有，
　　，（13）其中，，（14）；則有，（15）；則可由線性表出。
　　因抽油機井井底管柱含蠟沉積物厚度與時間正相關(guān)，符合Compertz生長模型條件，所以有，（16）；是待定常數(shù)，是時間變量，從而可由非線性表出，進而、可由非線性表出，，（17），（17）式說明排除其余變量干擾；是待定常數(shù)，是時間變量。
　　2計算舉例
　　懸點最小載荷值可利用Compertz模型，通過時間變量表出。在生產(chǎn)現(xiàn)場，值可用低壓測試儀器測試得出。目前某廠各基層小隊多數(shù)采用以下標(biāo)準(zhǔn)來確定洗井日期：產(chǎn)液量下降10%以下；上電流上升1.12倍以上；沉沒度上升100m以上；上載荷上升5%以上（未動管柱）；下載荷下降3%以下（未動管柱）。在這里，利用Compertz模型，求解熱洗周期，以“下載荷下降3%以下（未動管柱）”為標(biāo)準(zhǔn)。使用本文新算法求得累計下載荷預(yù)測模型：
　　，（18）
　　以該井作業(yè)后第2日洗井后測試時間和測試下載荷為基值，即假設(shè)2010年3月20日洗井后井下管柱無蠟等沉積物，其下載荷為47.05。當(dāng)下載荷下降3%至45.6385時，應(yīng)及時洗井，此時：
　　，（19）
　　解得（取整后），即該井洗井周期為133天，下次洗井日期為2010年7月31日。與實際洗井日期2010年8月7日，相差8天。
　　四結(jié)論
　　（1）該算法具有計算過程穩(wěn)定、熟練性能好等特點，克服了一般數(shù)值優(yōu)化算法應(yīng)用在Compertz模型參數(shù)估計問題中難以給定合適初始值和容易收斂于局部極小點等缺陷。
　　（2）利用Compertz模型參數(shù)估計的新算法，擬合計算懸點最小載荷與時間之間的函數(shù)關(guān)系，計算得出某抽油機井熱洗周期，而且數(shù)據(jù)來源簡單易取，數(shù)據(jù)的動態(tài)變化不影響模型的穩(wěn)定性。
　　參考文獻：
　　[1]童曉光，黎丙建.老油區(qū)石油儲量增長趨勢預(yù)測及應(yīng)用[J].石油勘探與開發(fā)，1991，19（6）：25-31，39.
　　[2]趙旭東.對油田產(chǎn)量與最終可采儲量的預(yù)測方法介紹[J].石油勘探與開發(fā)，1986，14（2）：72-78.