數學教學管理政策以及數學應用方式等等方面都是當前數學教學工作者十分在意的方面，同時數學教學的改革和管理模式也是大家都要了解的方面。

　　摘要：課堂上的數學實驗,有的探究過程簡明扼要,有的則要繞很大的“彎子”,但都是源于學生認知需求的即時生成,都綻放著個性的光芒,凸顯著個體探求未知領域的激情.

　　關鍵詞：數學教學,數學應用,數學論文

　　一、數學實驗的兩個案例

　　【案例1】這個圖形穩定嗎?

　　教學人教版初中數學七年級下冊《三角形的穩定性》一課,在對學生已經獲得的“三角形的穩定性”和“四邊形的不穩定性”的知識的應用環節,筆者設計了這樣的數學活動:

　　如圖1,在六邊形ABCDEF的木框中,至少添加幾根木條,才能使整個木框保持穩定?

　　推薦期刊：《數學教學通訊》雜志是由西南大學主管,西南大學數學與統計學院與重慶數學學會主辦的中學數學教學研究類期刊,創刊于1979年。近30年堅持為中學數學教學服務的辦刊宗旨;堅持與時俱進,始終站在數學教育研究的前沿;堅持貼近教學實際,貼近讀者要求,為讀者提供實用、優質的教學研究平臺與資源。

　　學生經過自主探究,畫出了4種添加方法,如圖2~圖5所示.

　　觀察發現,這4種方法可以分為兩類:圖2~圖4為一類,都是添加了3根木條,將原有的六邊形ABCDEF分解成了四個三角形,根據“三角形的穩定性”,此時,木框是能夠保持穩定的;圖5則是另一類,只添加了兩根木條,沒有形成固定的三角形,所得的圖形顯然是不穩定的.

　　正準備對圖5中的方法加以糾正,突然,一位學生站了起來,說道:“如果我在兩根木條AD與BE的交點O處釘上一個釘子,整個圖形不就穩定了?”此話一出,全班爭論聲頓起,有學生贊同他的說法,也有學生認為圖形仍然是不穩定的.

　　該生的突發奇想已經偏離了預設的教學活動.因為,根據活動要求,是不可以加“釘子”的.但是學生的爭論不休源于沒有與之關聯的生活經驗,經驗的缺失導致了爭議——是“穩定”還是“不穩定”,僅憑言語是無法讓人信服的.

　　稍加思考,我做出決定,用數學實驗來給出有力的回答:

　　將小組中的原有學具拆開,釘出一個如圖1所示的六邊形木框ABCDEF,并用兩根木條分別固定A、D兩點和B、E兩點.設AD與BE的交點為O,請在O點處不釘釘子和釘上釘子這兩種情況下,分別拉動六邊形,看其形狀是否會發生變化,并試著去說明穩定與不穩定的理由.

　　10分鐘后,學生經過探究、交流,歸納得出如下結論:

　　(1)在O點處不釘釘子時,整個圖形能夠拉動,圖形不穩定;在O點處釘上釘子后,整個六邊形木框ABCDEF無法拉動,也就是說圖形是穩定的.

　　(2)當O點處不釘釘子時,拉動六邊形的過程中,AD與BE的交點O在AD和BE上移動,隨著O點的移動,圖5中的四邊形,如AOEF、BODC,它們的形狀都在發生變化,整個圖形自然就不穩定了;而如果在O點處釘上釘子,圖5中的AO、BO、EO、DO的長度和∠AOE、∠BOD的度數等都已經固定,雖然圖5的AE、BD沒有連起來,但實際上其長度也已經固定,這樣一來,原六邊形被分成了多個三角形(根據全等三角形的判定方法,圖中形成的三角形都是唯一的),如△AOB,△DOE,△AOE,△AEF,△BOD,△BCD等,這些三角形的存在使得整個圖形必然是穩定的.

　　在這個數學實驗的過程中,學生將六邊形ABCDEF引發的問題化歸為三角形問題,進一步鞏固了本課所學的新知“三角形具有穩定性”;同時,更加深了對數學思想方法的領悟,如“釘釘子”與“不釘釘子”體現的是分類討論的思想,將六邊形轉化為三角形體現的是化歸的思想,而最終通過三角形來說理則是模型思想.值得一提的是,實驗過程中,學生在“行”和“不行”之間反復探究,在“是”與“非”之間充分辨析,積累下了無形財富——數學活動經驗.

　　【案例2】這樣能證明“三角形的內角和定理”嗎?

　　人教版初中數學七年級下冊《三角形的內角》一課,在探究“三角形的內角和等于180°”這一定理時,教材設計了如下的數學實驗:

　　在紙上畫一個三角形,將它的內角剪下來拼合在一起,就得出了一個平角.從這個操作過程中,你能發現證明的思路嗎?

　　課堂上,學生通過實驗探究,給出了4種拼圖(如圖6~圖9).通過圖中的輔助線l,學生很快就得出了證明“三角形的內角和等于180°”的方法.

　　我追問:“還有其他得出輔助線的方法嗎?提出你的猜想.”

　　學生圍繞輔助線的情況,提出了兩個問題:(1)如果只撕下一個角,還能得到直線l嗎?(2)如果不撕角,是否可以將∠A翻折下來,使A點正好落在BC上的A'處,而且翻折后得到的∠A'的兩邊正好分別與原三角形的AC,AB邊平行?

　　圍繞這兩個猜想,我安排了如下的數學實驗:(1)撕下三角形紙片的一個角,將其與三角形的另一內角拼合到一起,探究證明“三角形內角和等于180°”的思路.(2)將∠A翻折下來,使A點正好落在BC上的A'處,翻折后∠A'的兩邊能否正好分別與AC,AB邊平行?如果能,請探究出證明“三角形內角和等于180°”的思路.

　　接下來,學生實驗探究.在各學習小組組長的組織下,通過拼合、折疊等方法,得出了如下實驗結果:

　　如圖10,通過只剪下一個角構造出平行于AB的直線l,然后根據“兩直線平行,同旁內角互補”,便可證出“三角形的內角和為180°”.如圖11,在BC邊上找到了一個符合猜想(2)的點A'——形成的四邊形ADA'E為菱形,其中A'D//AC,A'E//AB,所以∠B=∠CA'E,∠C=∠BA'D,所以∠A+∠B+∠C=∠DA'E+∠CA'E+∠BA'D=180°.

　　弗賴登塔爾說:“數學知識既不是教出來的,也不是學出來的,而是研究出來的.”作為獲取數學認知的一種重要手段,數學實驗也是學生獲取新知的重要途徑,它能幫助學生發現結論,并找出“嚴格”證明結論的途徑.這則數學實驗就是很好的例子.在兩輪“剪角拼圖”的數學實驗中,學生按照“剪下的角的個數”,分兩種情況進行了探究,發現了多種拼圖方法,并從中抽象出用于證明定理的輔助直線L這樣的實驗過程,為“三角形的內角和定理”的證明鋪平了道路.

　　二、關于數學實驗的思考

　　(一)數學實驗是重要的數學學習方式

　　數學實驗,源于學生數學學習的需要.無論是新知探究還是舊知回顧,抑或是知識的綜合應用,學生通過動手操作、合理猜想,拓寬了學習道路,發展了幾何直觀和推理能力,感受到數學的魅力和價值.

　　本文中的兩個案例僅是數學實驗中的“滄海一粟”,但就是這樣的“一粟”,也足以吸引學生的眼球.學生通過反復實驗探究,在不斷試誤后,最終得出了正確的結論.學生通過實驗、理性辨析提出的設想——否定錯誤的猜想,并為正確的結論找尋出嚴格論證的路徑.這種具體的、可視的數學實驗,為學生提供了切實可行的數學學習方式,讓他們突破了“埋頭死讀書”的數學學習困境.

　　(二)數學實驗需要充足的時間做保證

　　在充滿著教學期待的數學實驗中,多一分鐘的等待,就可能會多出一份別樣的精彩.數學實驗一般都要經歷“提出設想—實驗探究—觀察思考—推理說明”的過程,在這個過程中,充足的實驗時間將會讓學生的探究和生成更加充分、到位,有助于結論的形成和接下來的推理說明.在兩個案例中,筆者都留給了學生10分鐘的實驗探究時間.在這10分鐘的時間里,有些學生經過了多次反反復復的實驗探究,得出了自認為準確的結論,而在與同伴交流后卻又發現自己的失誤,于是實驗不得不重來一次.“重來一次”,這就又需要時間.只有有了充足的時間,學生才可以有效地調控實驗進程,正確地調整影響實驗成果的數學因素,減少實驗中非數學因素的干擾,避免無謂的實驗失誤,確保實驗成果準確有效、合乎規律.由此,數學實驗順利展開,在舊知識的“提取”和新知識的鞏固中,學生思維的深度和廣度都得到了拓展.

　　(三)教師要參與實驗并提供必要的幫助

　　作為課堂教學的“組織者、引導者、合作者”,教師應參與到數學實驗中去,指導實驗方法,協助學生發現實驗生成.尤其在學生實驗遇到困難時,教師應及時指點迷津,讓學生脫離“困境”.這種處于實驗關鍵時點的“幫助”,不是為了“錦上添花”,只求實現“雪中送炭”,促成實驗的高效推進和成果的及時生成.

　　(四)數學實驗成果要及時“數學化”

　　這里的“數學化”,是指將“實際問題轉化為數學問題”.弗賴登塔爾認為,“在‘一浪接一浪’的數學化進程中,學習者經歷了一個又一個由現實的情景問題到數學問題,由不那么嚴格的數學體驗到嚴格的數學系統的學習過程”.數學實驗無論實驗成功與否,其生成都是豐富的,都一定會產生眾多的實驗“成果”.這些實驗“成果”緊貼學生的認知基礎,非常接“地氣”.教師應及時帶領學生梳理實驗中形成的成果,并使之“數學化”,賦予數學的圖形語言、符號語言和數學化的結論,以引導學生學會“數學地”發現問題、分析問題和解決問題.數學實驗成果的“數學化”,一方面體現了數學知識的應用價值,讓學生進一步感悟“數學是有用的”,形成數學建模的意識和思維慣性;另一方面,將數學知識和生活情境緊密聯系了起來,讓學生“學會數學地認識和解決問題”,促進認知網絡的建構與完善.