摘 要 在自交和自由交配的常規計算當中“找規律”法較為常用，即依據前幾代的結果推出一般規律。但該方法缺乏嚴謹性和普適性。本文嘗試應用經典數學計算法、遞推數列求通項法和數學歸納法三種數學工具增強推理過程的嚴謹性，提高其普適性，同時也展現生物學的理性之美。

　　關鍵詞 數學工具 自交和自由交配 經典數學計算法 遞推數列求通項法 數學歸納法

　　1 經典數學計算法

　　摘 要 在自交和自由交配的常規計算當中“找規律”法較為常用，即依據前幾代的結果推出一般規律。但該方法缺乏嚴謹性和普適性。本文嘗試應用經典數學計算法、遞推數列求通項法和數學歸納法三種數學工具增強推理過程的嚴謹性，提高其普適性，同時也展現生物學的理性之美。

　　關鍵詞 數學工具 自交和自由交配 經典數學計算法 遞推數列求通項法 數學歸納法

　　1. 1 Aa 連續自交 n 代，求 Fn 中 Aa 基因型頻率 用數學的等效思想不難看出，在親代中，A 基因與 a 基因是等效的，因此在連續自交后的每一代中 AA 個體與 aa 個體的數量是一樣的。可推出 P(AA) = P(aa)。通過觀察不難發現，在 Aa 個體的自交過程中，純合子的后代具有“封閉性”，也就是說純合子(包括 AA 與 aa) 自交后代只有純合子，沒有性狀分離;而雜合子自交后代則會出現1 ∶ 2 ∶ 1 的典型的基因型分離比。因此Aa的基因型頻率每代都會減半。在第一代中，不難算出 P1 = 1 /2，又因為 Aa 的基因型頻率每代都會減半，所以得出了第 n 代中 Aa 的基因型頻率 P(Aa) = 1 /2n �；�于此，可進一步推算出 AA 與 aa 的基因型頻率。由于 P(AA) = P(aa)，P(AA) + P(aa) + P(Aa) = 1，可聯立解得第 n 代中 P(AA) = P(aa) = (1 - 1 /2n ) /2 = (2n - 1) /(2n+1 )

　　1. 2 Aa 連續自由交配 n 代，求 Aa 基因型頻率 在自由交配的過程中，有一個很明顯的特點就是 P(a) = P(A) = 1 /2，又因為不涉及去隱，因此每一代 A與 a 的基因頻率不變，故遵守哈迪 — 溫伯格遺傳平衡定律。所以，在第一代之后的每一代都有 P(Aa) = 1 /2。

　　1. 3 Aa 連續自交 n 代并逐代去隱，求去隱后第 n 代 Aa 基因型頻率 參考 1. 1 的結果可知，在不涉及去隱的情況下，有 P(AA) = P(aa) = (2n - 1) /2n+1 ，P(Aa) = 1 /2n 。又由于純合子自交后代只有純合子，而雜合子自交后代則會出現 1 ∶ 2 ∶ 1 的典型基因型分離比，所以去隱 aa 個體只對 AA，Aa 基因型頻率有影響，對自交后代 AA，Aa 的數量無影響。所以 Aa 連續自交 n 代并逐代去隱的第 n 代中 P'(Aa) = N × P(Aa) /[N × P(AA) + N × P(Aa)] = P(Aa) /[P(AA) + P(Aa)](N為Fn 個體總數)，將P(Aa) = 1 /2n ， P(AA) = (2n - 1) /(2n+1 ) 代入，即 Aa 連續自交并逐代去隱，去隱后第 n 代 Aa 基因型頻率為 2 /(2n + 1)。

　　2 利用數列遞推公式求通項法

　　對“自由交配 n 代并逐代去隱，求去隱后第 n 代 Aa 基因型頻率”這一問題在筆者所見資料與所學中，未見有直接計算出結果的方法。由此可見經典數學計算法與生物學知識結合的不足。經過再三思考，筆者嘗試用數列遞推公式求通項法。解決這一問題。

　　2. 1 Aa 連續自交 n 代，求 Fn 中 Aa 基因型頻率 設第一代中 Aa 基因型頻率為 P1，第二代中 Aa 基因型頻率為 P2，第三代中 Aa 基因型頻率為 P3 ……第 n 代中 Aa 基因型頻率為 Pn。不難算出 P1 = 1 /2，在第 n 代中: P(Aa) = Pn，P(AA) = P(aa) = (1 - Pn ) /2。則自交一代后，在第 n + 1 代中，Aa 數量將減半: 所以 Pn+1 = P(Aa) = Pn /2，即 Pn+1 = Pn /2。由此得到了 Pn+1 與 Pn 的遞推公式，發現數列{Pn } 為首項 P1 = 1 /2，公比為1 /2 的等比數列，可以計算出{Pn } 的通項公式: Pn = 1 /2n ，而這說明，在第 n 代中，Aa 的基因型頻率為 1 /2n 。

　　2. 2 連續自由交配 n 代，求 Fn 中 Aa 基因型頻率 同樣設第一代中 Aa 基因型頻率為 P1，第二代中 Aa 基因型頻率為 P2，第三代中 Aa 基因型頻率為 P3 ……第 n 代中 Aa 基因型頻率為 Pn。不難算出 P1 = 1 /2，在第 n 代中: P(Aa) = Pn，P(AA) = P(aa) = (1 - Pn ) /2。從中求出 P(a) = P(aa) + P(Aa) /2 = 1 /2，P(A) = P(AA) + P(Aa) /2 = 1 /2。則 自 由 交 配 一 代 后，在 第 n + 1 代 中: Pn+1 = P(Aa) = 2P(A) P(a) = 1 /2，即 Pn+1 = 1 /2。又 P1 = 1 /2，發現數列{Pn } 為 Pn = 1 /2 的常數列。而這說明，在每一代中，Aa 的基因型頻率恒為 1 /2。

　　2. 3 Aa 連續自交 n 代并逐代去隱，求 Fn 中 Aa 基因型頻率 同樣設第一代去隱后 Aa 基因型頻率為 P1，第二代去隱后 Aa 基因型頻率為 P2，第三代去隱后 Aa 基因型頻率為 P3，……第 n 代去隱后 Aa 基因型頻率為 Pn。不難算出 P1 = 2 /3，在第 n 代中: P(Aa) = Pn， P(AA) = 1 - Pn，自交一代后，在第 n + 1 代中去隱前，Aa 數量將減半，即 P(Aa) = Pn /2，所以 P(AA) = (1 - Pn ) + Pn /4 = 1 - 3Pn /4，P(aa) = Pn /4。最終 得 出 去 隱 后 Pn+1 = P(Aa) = P(Aa) /[P(Aa) + P(AA)] = 2Pn /(4 - Pn )。這樣，我們也得到了{Pn } 的遞推公式 Pn+1 = 2Pn /(4 - Pn )。現對 Pn+1 = 2Pn /(4 - Pn ) 做一些數學處理，等號兩邊同時取倒數，得: 1 /Pn+1 = (4 - Pn ) /2Pn = 2 /Pn - 1 /2;等號兩邊同時減 1 /2，得: 1 /Pn+1 - 1 /2 = 2 /Pn - 1 = 2(1 /Pn - 1 /2)。我們發現數列{1 /Pn - 1 /2} 為首項 = 1、公比為 2 的等比數列，所以 1 /Pn - 1 /2 = 2n-1 ，即 Pn = 2 /(2n + 1)。而這說明，Aa連續自交并逐代去隱后，Fn 中 Aa 的基因型頻率為 2 /(2n + 1)。

　　3 數學歸納法

　　以“自由交配 n 代并逐代去隱，求去隱后第 n 代 Aa 基因型頻率”為例，介紹一下數學歸納法與數學歸納法的本質。在使用數學歸納法之前要先歸納結論。也就是說，我們需要先根據前若干代(F1，F2，F3…)的 Aa 基因型頻率觀察歸納，找出規律。如“自由交配 n 代并逐代去隱，求去隱后第 n 代 Aa 基因型頻率”中，先算出在第一代去隱后 P1 = 2 /3，第二代去隱后 P2 = 1 /2 = 2 /4，同理依次計算出 P3 = 2 /5，P4 = 2 /6，我們發現， P1P2P3P4… 存在明顯的規律，即分子不變，分母依次加 1，所以我們大膽猜想 Pn = 2 /(n + 2)。此過程到此結束，但這一過程只是猜想，其結果是否正確，還需要后續的證明，證明過程一般分三步。

　　第 1 步: 驗證奠基的正確。奠基就是我們猜想中的第一項。在本例中就是 P1 = 2 /3，顯然滿足猜想。第 2 步: 假設。在猜想的范圍內作出合理假設，假設的依據來自于前面歸納的規律。如在本例中，我們假設在 n = k ≥ 1 時，Pk = 2 /(k + 2) 成立。第 3 步: 推理。由第 k 項合理外推到第 k + 1 項，觀察其是否也符合猜想。如本例中，由 Pk = 2 /(k + 2) 能否推出 Pk+1 = 2 /[(k + 1) + 2]成立。若成立，則大命題 Pn = 2 /(n + 2) 成立，反之則反。

　　綜上，自由交配 n 代并逐代去隱，去隱后第 n 代 Aa 基因型頻率 2 /(n + 2)。生物學既具有其獨特的人文性，也具有科學的嚴謹性。筆者打破砂鍋算到底，正是對生物學中的理性思維的極致追求和理性呈現。但高中階段生物學中的理性思維被忽略較多，也常被稱為“理科中的文科”。從本文的論述過程不難看出數學學科在理科學習中的基礎性和工具性，數學與生物的結合，會使生物學更理性，更嚴謹。

　　《數學工具在自交和自由交配相關計算中的應用探討 》來源：《生物學教學》，作者：李智杰，張興娟。