前言
　　在初中教材中，對二次函數作了較詳細的研究，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對他們的基本概念和基本性質（圖象以及單調性、奇偶性、有界性）靈活應用，對二次函數還需再深入學習。
　　一、進一步深入理解函數概念
　　初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念。二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應，記為ƒ(x)=ax2+bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：
　　類型I：已知ƒ(x)=x2+2x+5，求ƒ(x+1)
　　這里不能把ƒ(x+1)理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。
　　類型Ⅱ：設ƒ(1+)=++1,求ƒ(x)
　　這個問題理解為，已知對應法則ƒ下，定義域中的元素1+的象是++1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。
　　一般有兩種方法：
　　(1)把所給表達式表示成1+的多項式。
　　ƒ(1+)=++1=(++1)-(1+)+1=(1+)-(1+)+1且1+≠1，再用x代1+得ƒ(x)=x2－x+1(x≠1)
　　(2)變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用。
　　令t=1+，則x=(t≠1)
　　∴(t)=++1=t2－t+1從而ƒ(x)=x2－x+1(x≠1)
　　二、二次函數的單調性，最值與圖象。
　　在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間（－∞，－b2a]及[－b2a，+∞）上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖象學習二次函數有關的一些函數單調性。
　　類型Ⅲ：畫出下列函數的圖象，并通過圖象研究其單調性。
　　（1）y=2x2+|x|－5
　　（2）y=|2x2－3|
　　（3）=x2+2|x-1|－3
　　這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖象。
　　類型Ⅳ設ƒ(x)=x2－2x－1在區間[t,t+1]上的最小值是g(t)。
　　求：g(t)并畫出y=g(t)的圖象
　　解：ƒ(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1時取最小值－2
　　當1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
　　當t＞1時，g(t)=ƒ(t)=t2－2t－1
　　當t＜0時，g(t)=ƒ(t+1)=t2－2
　　t2－2,(t<0)
　　g(t)=-2，(0≤t≤1)
　　t2－2t－1,(t>1)
　　首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。
　　如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數的值域。
　　三、二次函數的知識，可以準確反映學生的數學思維：
　　類型Ⅴ：設二次函數ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)－x=0的兩個根x1，x2滿足0<x1<x2<1a。
　　(Ⅰ)當X∈(0,x1)時，證明X<ƒ(x)<x1。
　　(Ⅱ)設函數ƒ(x)的圖象關于直線x=x0對稱，證明x0<x2。
　　解題思路：
　　本題要證明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)<x1和x0<x2，由題中所提供的信息可以聯想到：①ƒ(x)=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內有兩個不同的交點；②方程ƒ(x)－x=0可變為ax2+(b－1)x+1=0，它的兩根為x1,x2，可得到x1,x2與a,b,c之間的關系式，因此解題思路明顯有三條①圖象法②利用一元二次方程根與系數關系③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導。現以思路②為例解決這道題：
　　(Ⅰ)先證明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因為x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x－x1)(x－x2)
　　因為0<x1<x2,所以,當x∈(0,x1)時,x－x1<0,x－x2<0得（x－x1）（x－x2）>0,又a＞0,因此ƒ(x)＞0,即ƒ(x)-x＞0.至此,證得x<ƒ(x)
　　根據韋達定理,有x1x2=ca∵0＜x1＜x2<1a，c=ax1x2<x=ƒ(x1),又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x1),根據二次函數的性質，曲線y=ƒ(x)是開口向上的拋物線，因此，函數y=ƒ(x)在閉區間[0，x1]上的最大值在邊界點x=0或x=x1處達到，而且不可能在區間的內部達到，由于ƒ(x1)>ƒ(0)，所以當x∈(0,x1)時ƒ(x)<ƒ(x1)=x1，
　　即x<ƒ(x)<x1
　　(Ⅱ)∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a（x+－b2a）2+(c－),（a>0）
　　函數ƒ(x)的圖象的對稱軸為直線x=－b2a,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=－b2a，因為x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=－b-1a，∵x2－1a<0，
　　∴x0=－b2a=12（x1+x2－1a）<x2,即x0=x2。
　　二次函數，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函數，可以以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。
　　二次函數的內容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入。