摘要：本文在雙足被動步行動力學模型的基礎上，首先介紹一種比較常見離散映射系統的不穩定流形的數值計算方法，選取了一種計算速度快及精度高的數值計算方法，并將該算法應用到雙足被動步行的不穩定流形計算中，計算與分析了在力學參數影響下的雙足被動步行模型的不穩定流形，從而運用計算機仿真雙足被動步行模型的穩定和不穩定流形的直觀圖，為進一步研究雙擺系的混沌動態行為奠定了基礎。
　　關鍵詞：雙足被動步行，不穩定流形，同宿或異宿柵欄；
　　
　　1引言
　　雙足被動步行模型在擺動和碰撞過程是雙擺運動，雙足被動步行模型是步行機器人領域一個新的飛躍[7]，它以簡單、節能等獨特的優點成為了很多學者的關注。根據雙足被動步行中自由度的數目，其中主要研究兩個自由度被動步行模型，因此，雙足被動步行模型被看作為一種雙足被動步行[5]。
　　雙足被動步行中的混沌行為是一種不僅有趣且有重要意義的現象。
　　2離散映射系統的不穩定流形的數值計算方法
　　增長流形算法的基本思想是:從最初始線段起，按照不穩定流形上的點的像和原像的增長比例[2]，此算法生成上的一系列點，流形軌跡自身被連續點之間的線段的線性分段內插于近似。開始在周圍附近選擇一點，使該點位于的線性近似上。初始序列就是。在計算新點的每步中，都在序列中增加一個上的點。為了到達滿足的要求，首先依據數值點附近的曲率找到理想的步長，當前點與新點兩者相距。然后，在某個線段上尋找到新點的原像。
　　因為不穩定流形是大量離散的點組成，設這些點的集合為。該算法的基本思想是按像和原像的增長比例擴張流形[1]，如果想得到該增長比例至少需要獲得中的兩個點[2]，那么在的足夠小的鄰域內選取點、，令，與的距離要按照映射的特點選擇，通常依靠經驗來確定。、，則不穩定流形的初始近似為。執行該算法需要的初始步長為，原像步長為，增長比為。根據該增長比即可循環計算中后面的點。在計算中，為了應用此算法，保存了中點的信息，其包括：
　　：點的坐標位置；
　　：從初始點出發，沿該軌線經歷的長度；
　　：點的原像的坐標位置；
　　：從初始點出發，沿該軌線經歷的長度；
　　：點所處線段的后一點坐標序號。
　　設已經計算出的前個點，即當前，現在需要沿不穩定流形計算后面處的。設的步長為，的原像的步長為。如圖1所示，，，。處的增長比例為。根據該增長比例，可判斷后面的的步長為，所以。而所處線段的兩個端點分別為和，所以，我們可按照(1)式計算的坐標。再將進行映射得到新點坐標為，然后修正處的步長為。
　　（1）
　　
　　圖1計算的下一點
　　如果步長有可能過大，那么軌線上急速彎折的部分可能被漏掉，如果步長也有可能過小，那么計算得出很多無用的點，算法的計算速度及效率很低。因此，通過附近流形的彎曲程度來判斷步長是否合適。如圖2所示，在點附近的彎曲程度可用向量和
　　的夾角度量。因為
　　，而當很小時，近似有，所以可按照(2)式計算。
　　（2）
　　充分利用夾角可以控制的大小，如（3)式所示，如果滿足此條件，那么可在一定范圍內將限制。如果和大于最大值，那么說明過大，則將減半再次重新計算，如果和小于最小值，說明過小，則將增倍再次重新計算。只有控制的大小，才能有效控制局部內插誤差，且保證算法的高效性和精確度。
　　(3)
　　
　　圖2向量和形成的夾角
　　如果滿足要求，則保存的信息：、、、、，將該點加入中。像這樣繼續循環計算下去，直到達到不穩定流形長度要求為止。
　　3.計算流形應用實例
　　對于任意自治系統，
　　（4）
　　這里。若取為本系統的Poincaré截面，那么相應Poincaré映射可定義為：對于任意，表示從出發在系統的作用下再次回到時的交點。
　　雙足被動步行模型動力學行為可由以下切換系統來描述：
　　（5）
　　其中k表示斜坡的傾角。這里的切換流形是：
　　(6)
　　切換函數為：
　　(7)如果軌線一旦到達切換流形，系統狀態立即通過切換函數跳轉到新的初始狀態繼續運行計算。為了處理兩個系統的不連續性，采取切換流形作為系統Poincaré截面。由于本混合系統由時間連續系統(4)和切換函數(7)組成，所以，只要研究相應Poincaré映射和切換函數的復合映射，得到了二維離散映射系統具體表達式，Poincaré映射通過數值計算方法得到。
　　為利用上述算法進行計算，
　　令，于是得到：
　　（8）和（9）
　　而切換函數變為
　　，.（10）
　　因此，我們有
　　（11）
　　顯然，計算的關鍵是計算Poincaré映射。仔細觀察，不難發現的取值僅由和分量決定，和均位于上，即其第二坐標分量僅由決定，并且
　　，
　　因此在選擇初值時，只要其和分量滿足
　　，（12）
　　那么復合映射就可被看作是平面的映射。
　　為比較和驗證上述一維流形算法的速度和精度，選取k=0.009。這時存在一個穩定平衡點：
　　計算出該映射一維穩定流形和一位不穩定流形直觀圖，如圖4,5所示，通過此算法，還計算與仿真出不穩定流形和穩定流形存在橫截相交一點，如圖6所示。因此，如果不斷繼續迭代下出，那么存在不穩定流形和穩定流形之間無窮多次纏結，會導致同宿混亂，即橫截柵欄效應，從而蘊含很多復雜動態的混沌動力學行為。
　　
　　圖4當時，雙足被動步行的穩定流形

　　圖5當時，雙足被動步行的不穩定流形

　　圖6當時，穩定流形和不穩定流形局部橫截相交
　　4結論
　　本文以一種增長流形的算法思想為基礎，計算和分析雙足被動步行模型的動力學混沌行為。相對于其他不穩定流形算法而言，該算法能顯著提高了流形計算速度和精度，減少計算誤差。該算法對最簡單的雙足被動步行模型進行了驗證，計算該系統不穩定流形和穩定流形，發現了一維不穩定流形和穩定流形橫截相交，從而為雙足被動步行的進一步研究打下堅實的理論基礎，可能蘊含吸引子和周期解得動力學混沌行為特征。
　　參考文獻：
　　1.楊曉松，李清都，唐云.雙足被動步行的拓撲馬蹄與混沌，力學期刊，2009
　　2.周麗.離散系統的一維不穩定流形計算，數字通信，2009
　　3.李清都，周麗，周紅偉，離散系統的二維不穩定流形計算，重慶郵電大學，2010
　　4.柳寧,李俊峰,王天舒,雙足模型步行中的倍周期步態和混沌步態現象[J],物理學報，2009，58（6）：3772-3779.
　　5.曲俊法,雙足被動步行機器人行走穩定性的研究,哈爾濱工業大學碩士學位論文，2008.
　　6.倪修華，雙足被動步行機器人性能分析及一種動力輸入方法研究博士論文，2010.
　　7.毛勇，王家廒毛勇，王家廒等．雙足被動步行研究綜述．機器人，2007，29(3)：274~280.