【摘 要】判斷能被11整除的數的特征， 能被7整除的數的特征。

　　【關鍵詞】教育期刊論文,分節法,整除,特征,教學,案例,評析

　　課前準備：

　　1 安排需要的學具(計算器1個)

　　2 認識五年級一班學生

　　(設計意圖：希望在課前的幾分鐘時間里通過平等的對話交流，拉近師生之間的距離，為完成教學目標作好鋪墊。)

　　教學目標：

　　1、培養學生的數學興趣，以至發展為內在的學習動力。

　　2、培養學生善于觀察、學會思考、學會分析的數學習慣。

　　3、初步培養學生研究數學的習慣。

　　教學重點：

　　培養學生熱愛數學、追求數學的價值觀。

　　教學設計：

　　一、談話導入

　　師：同學們，你們六年的小學生活即將畢業了，在這六年里你們經歷了若干的老師，同時也學到了不少的知識。那么你們的知識是否就夠了?就滿足了?在每章每節里敢說沒有遺憾了嗎?

　　生：沒學夠，有遺憾。還有很多地方沒完全明白。

　　師：好的，那么老師就來考察你們整除方面的知識，看你們所學的到底還有多少差距，好不好?

　　生：好的

　　師：什么是整除呢?(如學生不能完整的回答這一概念，教師可作必要的補充。)

　　師：我們明白了什么是整除，那么能被2整除的數有什么特征?能被3整除的數呢?能被5整除的數呢?

　　生：踴躍發言。

　　(教師隨時關注學生的表述，有不準確的地方及時要求學生調整過來。語言要求準確、簡練。)

　　設計意圖：1、能被2、3、5整除的數的特征易學、易懂、易理解、易掌握，通過這樣的以舊引新的復習，讓每個同學都有參與發言的機會。以體現課堂的參與性。

　　2、提高學生的自信心。

　　二、談話過渡

　　師：同學們，我們學過了2、3、5的倍數的特征，那么11的倍數有特征嗎?7的倍數有特征嗎?教材上有這方面的知識沒有?你們的老師提示過沒有?你們自己追問過自己沒有?

　　生：沒有。

　　師：同學們這就是你們的遺憾了，那么想不想知道這方面的知識呢?

　　生：想。

　　師：那我們這節課就來探討――能被11、7整除的數的特征，(教師板書板書)

　　設計意圖：通過一連串的追問，激烈的對話，激起學生的求知欲。同時也讓學生明白自身的不足，從而想急迫的進入課堂，一探事實的真相。

　　三、新授流程

　　(一)1、教師出示：44 66 187 1067 3586 5335 8415

　　要求學生判斷是不是11的倍數。(設計意圖：數由簡單到復雜，判斷也由容易到困難，從而把學生的思維拉入探究過程。)

　　2、師：既然1067、3586、5335、8415這幾個數不能一下子作出準確的判斷，那我們就從簡單的數入手去研究，請說出最簡單的11的倍數。學生依次說出，教師板書。

　　11 22 33 44 55 66 77 88 99

　　師：請觀察它們的特點。

　　生：十位和個位上的數字相同。

　　3、師：那么11的倍數是三位數的又具有什么特征呢?請同學們算出11的11倍、12倍、17倍、24倍、35倍。(必須具備一定的量，以便進行研究。)

　　4、教師板書 121 132 187 264 385

　　問：它們有什么特征呢?(教師給學生一定的觀察時間，同時巡視幫助。)

　　結論：百位上的數字+個位上的數字=十位上的數字

　　5、基本練習a、按此規律寫出幾個11的倍數。b、判斷341 、 275是不是11的倍數。

　　師：是不是在三位數中11的倍數就只具備這樣的特征呢?(這樣的質疑可以進一步激起學生的探討欲望。)那么請用11乘19、29、38、57.學生報告結果，教師板書：209 、 319 、 418 、 627。讓學生充分觀察，一定時間后教師引導學生觀察，板書：

　　百位上的數字 + 個位上的數字 ? 個位上的數字 = ? (11)

　　師：師生共同歸納什么時候結果為0，什么時候結果為11，從而明確三位數中11的倍數的特征。

　　(二)

　　1、師：三位數有規律可循，四位數中11的倍數又有什么規律呢? 師生一起分析

　　1067 3586 5335 8415 (注：把思考時間多留給學生，讓他們深深地體會研究過程的艱辛。培養堅忍不拔的毅力)

　　同學們發現什么了嗎? (沒有)

　　教師用下例引導分析：

　　判斷12345能被3整除，可用分節法進行

　　1/2/3/4/5

　　1+2+3+4+5 = 15 15是3的倍數，故12345就是3的倍數。(通過這種新奇的以舊引新，搭建起了新舊知識的橋梁。)

　　一定時間后，教師引導學生觀察

　　師：其實，11的倍數也可以采用分節法來研究，只是注意分節時是從右向左每兩個數字分為一節，位數是奇位數時最后一節是一個數字，然后把各節上的數相加，最后分析結果。

　　分析說明過程

　　10/67 53/35

　　10+67=77 53+35=88

　　因為77、88能被11整除，故1067、5335能被11整除，我們把這種方法叫住――分節法。 (同時板書在課題的前部分)

　　2、鞏固練習

　　判斷8415、3586 、 4563能被11整除嗎?

　　3、師：那倍數是五位數、六位數……用分節法可以嗎?

　　例、 94193 618574 　　分節 9/41/93 61/85/74

　　9+41+93 61+85+74

　　=1/43 =2/20

　　把結果繼續分節：1+43=44 2+20=22

　　44、22是11的倍數，那么94193、618574就是11的倍數。

　　小結：判斷一個數能否被11整除，可以把這個數從右向左每兩個數字分為一節，然后把各節上的數相加，如結果是11的倍數，那么這個數就是11的倍數。(兩位數除外。)

　　(三)師：同學們，11的倍數有特征，7的倍數有特征嗎?也能用分節法來研究嗎?能推廣嗎?下面我們試著用分節法探討7的倍數的特征。教師出示：

　　7×15 7×28 7×45

　　結果分節1/05 1/96 3/15

　　教師板書

　　1×2+05=7 1×2+96=98 3×2+15=21我們發現經過以上的分節處理其結果都是7的倍數。我們可以繼續演繹：

　　7×327 7 ×654

　　=22/89 =45/78

　　22×2+89 45×2+78

　　=1/33 =168

　　1×2+33 1×2+68

　　=35 =70

　　拓展練習：下面各數能被7整除嗎?如不能余數是幾?469 875 1404。

　　小結：能被7整除的數的特征：把一個數從右向左二位分一節，其余數字乘以2的積加上所分二位一節之和，如果能被7整除，這個數字就能被7整除。

　　四、課堂總結

　　同學們，通過我們今天的研究學習，初步嘗到了數學蘊含的神奇奧秘，老師真誠希望大家在今后的學習中努力去發現、去探索，在數學王國里還有許多問題要大家去揭密。

　　教學反思：學生數學素養的培養，源于教師對數學的無限探求。

　　《用分節法探究能被11、7整除的數的特征》教學案例評析：本案例，設計很好，由淺入深，環環相扣，把較難的邏輯推理知識演繹得清楚明了，使學生的好奇之心有豁然開朗之感，歡快無比，體會到學習數學的快樂，實現學生快樂學習的目的。課堂學習非常開放，教師搭建一系列平臺讓學生充分展示自己所想，學生自主、合作、探究，多途徑、多方面獲得數學知識與解題方法;課堂上學生匯報交流的方法與案例、獲得知識的的途徑與形式，學習資源的利用與開發、過程的動態生成與學生板書，成果的分享，得到升華。教師的巧妙引導，給學生的充分肯定與引領，使學生所學知識得鞏固與提升。

　　教學有法而無定法，貴在教師的專研與探索，該教師真正做到了超越教材、超越自我。

　　課后感：以上案例是劉老師在我校上的一堂比較成功的公開課，課余，我懷疑他是在網上下載的資料，我上網查了資料，結果沒找到此種解法，我找他談話，你為什么要上“用分節法研究能被11、7整除的數的特征”，他的回答是：2013年秋，當我上完西師版教材五年級數學上冊第七章《倍數與因數》的第二節內容：2、3、5的倍數特征后，我掩卷沉思：這一章節的內容主要是在整數中研究的，有許多實際的應用，但主要的目的是為今后分數方面的計算做準備。掌握了 2、3、5的倍數的特征，對于約分、通分、分數的四則混合運算就有了一個有力的工具。但通過我多年的教學經驗得知，同學們在進行約分時最困難的卻是難以快速判斷分子、分母是否含有因子7或11，甚而至于是13，以此影響約分的速度和效果。比如：給約分就比較困難。要突破這方面的難點，須得弄清7或11等數的特征。

　　7或11的倍數是否有特征呢?如有又是怎樣的特征呢?教材上沒有滲透，資料上也沒有提及。但我怎能放棄呢?必須弄明白這方面的真相。

　　首先，我以11為突破口，于是，在我案頭上出現了一大堆的數字：88、99、121、132、187、209、319、627、770、880、858 ，這些都是11的倍數

　　看著這些數字，我內心只有一個想法：規律在哪里?它們的內在存在什么聯系?…… 一連串的問題在我心中縈繞。

　　個位上的數字有奇、有偶，從個位上尋求規律行不通。

　　把各位上的數字相加，結果與11也毫無關系。

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　　看著88、99、770、880這幾個比較特殊的數與121、132、187、209、319、627的結構不同，難道是兩位數與三位數的特征不同?難道要進行分別研究?產生了這個想法，我立馬把11的倍數進行了分類整理。

　　11的倍數是兩位數的：11、22、33、44、55、66、77、88、99

　　很有趣：個位上的數字與十位上的數字相同。

　　11的倍數是三位數的：121、132、143、154、165、176、187、198、209、220、231……308、319……

　　我依次列舉了一串，通過我仔細觀察，這些數是乎可以劃分為兩種情形。

　　一類是：121、132、143、154、165、176、187、198、220、231、242、253……

　　一類是：209、308、319……

　　前一類滿足一個共同的特征：

　　百位上的數字 + 個位上的數字 ? 十位上的數字 = 0

　　后一類滿足：

　　百位上的數字 + 個位上的數字 ? 十位上的數字 = 11

　　我驚了：這0和11不就是11的倍數嗎?在三位數中難道滿足

　　百位上的數字 + 個位上的數字 ? 十位上的數字 = 0或 11的數就是11的倍數嗎?我急不可待的驗證了許多11的倍數，結果都是這樣。同時也弄明白了滿足什么條件的兩位數的11倍結果為0，滿足什么條件的兩位數的11倍結果為11。

　　11的倍數是兩位數的有特點，是三位數的也有特點，且特點不同，難道四位數中是11的倍數又具有另類特征嗎?跟前面的研究方法一樣，我又列舉了一大串 11的倍數。1089、1100、1111、1122、1144、1188、1210、1221、1342、1353。 　　1100、1111、1122、1144、1188各位數字的組合比較特殊，很容易理解。但1089、1210、1221、1342、1353這些比較一般的數怎樣才能尋出點眉目來呢?

　　把各位上的數字相加，結果與11沒有關聯，，此路不通。我深信個位上的數字經過一定方式的處理應該與11有關聯。通過苦苦的思索我發現把1221分成兩節，12為一節、21為一節，把這兩個數相加結果為33。恰是11的倍數。興奮之余，我試著把其他的幾個數按同樣的方式分為兩節，把兩節數字一加，結果都是11的倍數。我相信這絕不是偶然，接著我進行了大量的驗證，經過這樣的分節處理，兩節之和就是11、22、33、44……99這九個數字中的其中一個。這難道不是與判斷3的倍數的特征有異曲同工之妙嗎?

　　這個分節法適用于三位數嗎?乃至更多數位嗎?試試看。

　　11的倍數： 187 10857 39248

　　分節 1/87 1/08/57 3/92/48

　　相加 1+87=88 1+08+57=66 3+ 92+48=143

　　再分節相加 1/43 1+43=44

　　判斷：因為88、66、44是11的倍數，故原數就是11的倍數。綜上所有研究的結果，可以表述為：11的倍數可以用分節法來進行判斷，具體的操作過程是，把這個數從右向左每兩個數字分為一節，最后一節可以是一個數字，然后把各節上的數相加，如結果是11的倍數，那么這個數就是11的倍數。

　　當然，研究問題要全面，我舉了大量不是11的倍數的例子，通過上面的操作其結果都不是11的倍數。從而初步認定分節法的可靠性。

　　有了研究11的倍數的經驗，我接著對7的倍數進行了摸索，最終找到了7的倍數的判斷方法。只是在分節法的基礎上又有不同的處理方式，具體操作演示如下：(下面的數都是7的倍數。)

　　119 175 2520 5663

　　分節 1/19 1/75 25/20 56/63

　　過程 1×2+19 1×2+75 25×2+20 56×2+63

　　=21 =77 =70 =175

　　1×2+75=77

　　需要說明的是：只能分成兩節，右邊兩個數字為一節，其余的為一節，要用前一節的數乘2再加后一節的數，如果結果過大，繼續分節進行，直到很好判斷為止。

　　后來，我對13、17、23等數也進行了研究，它們的倍數都可以用分節法來進行判斷，只是過程處理有一些差別而已。

　　深思：作為一名山區村小的教師，有如此專研教學方法的能力與精神，不得不令人感嘆!