摘 要 加法結構是以加法和減法概念為核心的概念體系，是兒童在數學領域建構的第一個整體性的結構。使用內容分析法，以變化題、合并題和比較題為分類標準，研究了加減法實際問題在小學數學教材中的整體分布以及年級分布，據此提出了兩點教學建議：引導學生經歷數學抽象，促進加法圖式的建構;采取多樣化的題型，理解關系運算的算法算理。

　　關鍵詞 加減法實際問題 加法結構 變化 合并 比較

　　1 加減法實際問題的分類

　　維格諾德[1] 對加減法實際問題進行過分析研究，他以實量、變換次數和數量間的關系是靜態關系或動態關系為標準，將加減法實際問題分為六種基本類型;卡朋特和莫瑟[2] 劃分了應用題的一般框架，被許多研究者認為能有效區分兒童解決不同問題時表現出來的重要差異，這個框架主要包括“變化、合并、比較、相等”四大類加減法題;孫昌識[3]在研究兒童認知結構的發展與教育時，劃分了三種類型的加減法應用題——變化題、合并題、比較題，用于區分語義特征明顯不同而詞匯和句法特征基本相同的問題。根據國內外學者的相關研究，我們發現對于加法結構的問題分類基本一致，只是在細致程度上有一些差異。概括而言，我們將小學階段一步計算的加、減法實際問題分為三類：變化題、合并題和比較題，分別對應了維格諾德和卡朋特所劃分的前三種，而卡朋特提出的相等問題我們將之歸類于比較題。

　　2 不同類型加減法實際問題

　　在教材中的分布以變化題、合并題和比較題三種問題類型為分類標準，本文梳理了蘇教版小學數學教材中出現的所有一步計算的加、減法問題，對加、減法實際問題在教材中的分布做了統計和分析。

　　2.1 加減法實際問題在教材中的整體分布根據圖 1 可以看出，在一步計算的加法實際問題中，合并題就有 134 題，占了總數的 71%。在自然數、分數、小數加法的起始課中，也都是使用合并的語境意義讓學生形成加法問題的表征。說明在教學中，教材和教師都是將“合并”作為“加法”的基本概念，進行加法意義的建構。

　　2.2 加減法實際問題在教材中的年級分布加減法實際問題不僅在教材中的整體分布比例不同，在各個年級的分布更是差異很大。有些年級學習的加、減法題很多，類型也比較全面，而有些年級基本不涉及加減法的學習。從圖 2 中可以看出，教材主要將加法內容安排在低年級。學前兒童已經能夠借助實物操作或數手指等計數策略解決簡單的加法問題，只是還沒有學會抽象化的數字運算，因此剛入學教材提供大量與實際生活相關聯的數學情境(以合并題為主)使學生對加法原始自發的認知逐步轉化為對問題情境的有意義理解。一年級下學期，兒童繼續學習類型更加豐富的加法實際問題(包括變化題和合并題)，從而對加法的認知更加完整與規范，初步形成了加法認知結構，能進行簡單的關系運算。

　　2.3 三種問題情境在教材中的年級分布從圖 3 可以得知，在一二年級兒童構建加法認知結構的關鍵時期，教材是按照“合并題——變化題——比較題”的先后順序編排實際問題，使學生從淺入深掌握加減法概念的。根據孫昌識的研究結果[3]，兒童的變化圖式、合并圖式形成較早，此時加減法概念出現但加法相對占優勢(一年級上學期);隨后變化圖式和合并圖式整合為總體關系推理圖式，加法與減法在具體水平上整合(一年級下學期);而比較圖式建構較晚，至此以加減法概念為核心的加法結構才在概念水平上達到整合(二年級)，即是說教材的三種類型實際問題的設置是符合兒童思維特點和認知過程的。

　　3 促進學生構建加法結構的教學建議

　　兒童的加法認知水平是從直觀感知到邏輯抽象逐漸過渡的過程，通過研究加減法實際問題在教材中的分布特點，結合加法結構形成、發展、變化的客觀規律，發現教材的問題編排有符合兒童認知的部分，也有不利于兒童加法結構發展、整合的地方。這也啟發我們教學時應尊重教材、理解教材，也要在把握教材的基礎上設計更加合理的教學活動，幫助學生掌握加減法的概念，發展加法認知結構。

　　3.1 引導學生經歷數學抽象，促進加法結構的建構

　　兒童在入學以前已經對加減法有了簡單的感知，能嘗試解決一些簡單的實際問題。因此入學以后，我們應基于學生已有的認知基礎，逐步進行加減法基本概念教學，引導其抽象出數學概念，促進數學認知水平的發展。教學時教師應創設貼近兒童生活的現實情境，借助生活經驗以及實物操作，幫助學生從具體形象思維向抽象邏輯思維發展;應抓住學生思維發展的關鍵期，結合簡單的概念教學，使學生理解加減法概念的意義和算理，解決實際問題;應結合加法結構發展的客觀規律，把握學生的認知特點，循序漸進地組織教學[4]，從而促進兒童認知結構的整合與發展。

　　3.2 采取多樣化的題型，理解關系運算的算法算理合并的語境意義更容易和加法產生聯結，變化和比較的語境意義更容易和減法產生聯結，因此教材主要通過合并題促使學生形成加法概念，通過變化題和比較題促使學生形成減法概念。然而這些單一的問題練習過多會使兒童形成片面的認知——合并即為“加”，去掉即為“減”。從而解題時受到問題呈現方式的支配，看到“一共”“比”等就直接進行加減法數值運算，而不去理解題目中的數量關系。因此教學時應適當補充不同類型的加減法實際問題，如給出三個數量，教師可以設置成合并題的情境，也可以設置成變化題、比較題的情境;如根據數量關系，教師任意改變未知量，讓學生根據其他已知量求出結果。通過多樣化的題型和變式，使得學生真正掌握加減法的含義，理解關系運算的算法算理，從而構建完整的加法圖式。

　　參考文獻

　　[1] Vergnaud·G. L'enfant,la mathematique et la realite [J].Educational Studies in Mathematics,1982 (8): 347-348.

　　[2] (美)理查德·萊什,瑪莎·蘭多.數學概念和程序的獲得[M].孫昌識,苗丹民,等,譯.濟南:山東教育出版社,1991.

　　《小學數學教材加減法實際問題類型分布的分析》來源：《科教文匯》，作者：朱 蕾， 顧繼玲。