摘要：給出了2010年全國大學生數學建模競賽C題的一種求解方法。分別針對C題提出的3個問題，建立了非線性規劃模型，并運用Matlab軟件包給出了模型的最優解。
　　關鍵詞：非線性規劃論文，管線鋪設論文，優化模型
　　1問題的提出
　　本文討論2010年高教社杯全國大學生數學建模競賽C題的解答，問題如下：某油田計劃在鐵路線一側建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設計院希望建立管線建設費用最省的一般數學模型與方法[1]。
　　問題1：針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出設計方案。在方案設計時，若有共用管線，應考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形。
　　問題2：設計院目前需對一更為復雜的情形進行具體的設計。兩煉油廠的具體位置由圖1所示，A廠位于郊區（圖1的I區域），B廠位于城區（圖1的II區域），兩個區域的分界線用圖中的虛線表示。
　　圖1
　　所有管線的鋪設費用均為每千米7.2萬元。鋪設在城區的管線還需增加拆遷和工程補償等附加費用。
　　問題3：結合實際，根據煉油廠的生產能力，選用相適應的油管。這時的管線鋪設費用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費用同上。
　　2符號說明
　　______________________________________
　　作者簡介李蕙萱，女，碩士研究生，黎明職業大學講師。Email：lihuix2009@163.com
　　A、B：鐵路同側的兩家煉油廠。
　　C、D：A、B兩家煉油廠在鐵路上的投影點。
　　E：增建的車站。
　　P：共用管線和非共用管線的連接點。
　　Q：城區與非城區的的油管連接點。
　　S：輸油管的總長。
　　F：輸油管線的總費用。
　　：A煉油廠到鐵路的垂直距離。
　　b:B煉油廠到鐵路的垂直距離，且。
　　C：A煉油廠到區域分界線的垂直距離。
　　:A、B兩家煉油廠的投影點距離。
　　根據煉油廠及鐵路線位置，建立如下的坐標：以鐵路所在的直線為x軸，以C點為原點，AC所在直線為y軸。則管線的鋪設方案可歸結為平面幾何問題。
　　3模型的建立與求解
　　3.1問題1的分析與求解
　　設車站點E的坐標為（，0），點P的坐標為（，），如圖2所示。
　　圖2
　　為使所鋪設管線盡量短，顯然共用管線應垂直于鐵路線。問題1也即確定點E、P的位置，使點P到A、B、E的距離之和最小。因此我們的問題可化為求解：
　　min
　　s．t．
　　這是一個二元函數的極值問題，求偏導得：
　　S= +，S=1++
　　令，得駐點：，即為最小值點。
　　所以問題1的鋪設方案：車站的位置坐標為E，共用管線和非共用管線的連接點P,由此可得管道鋪設最省的總長度為。
　　3.2問題2的分析與求解
　　問題2相比較問題1多考慮了一個因素——拆遷和工程補償等附加費用，這就導致了城區和郊區所鋪設的每單位管線費用不相同。設表示非城區每單位管線費用，表示城區拆遷和工程補償等附加費用。在問題1的基礎上，在城區與郊區的臨界線處增加一個變量Q，問題2也可轉化為：確定點E、P級Q，使得總鋪設費用最小。不妨設車站位置E在非城區（如在城區可類似計算），則問題2可化為求解：
　　min
　　s．t．
　　具體情況如圖3：
　　圖3
　　這是一個非線性規劃問題[2]，根據題目所提供的數據，，，代入模型，利用Matlab軟件包[3]進行求解得：E（5.4494，0），P（5.4494，1.8538），
　　Q（15，7.3678），。
　　3.3問題3的分析與求解
　　問題3針對煉油廠的生產能力，選用相適應的油管，設輸送A廠成品油的管線鋪設費用為=5.6，輸送B廠成品油的管線鋪設費用為=6.0，共用管線費用為=7.2，表示城區拆遷和工程補償等附加費用。建立模型：
　　利用Matlab軟件包進行求解得：E（0.3286，0），郊區與城區臨界處坐標Q（15.0000，7.9861），相應的費用最省為。
　　4模型的評價
　　非線性規劃模型具有成熟的理論基礎，又有相應的專業軟件支持，實用性強。模型經過多次修正，綜合考慮了很多因素，從而給出最優方案，具有較大的參考價值。
　　參考文獻
　　吳建國，《數學建模案例精編》，北京：中國水利水電出版社，2005。
　　姜啟源，《數學模型》，北京：高等教育出版社，1987。
　　趙靜，但琦，《數學建模與數學實驗》，北京：高等教育出版社，2003。
　　Aoptimizationmodeloftheoiltransmissionpipeline
　　LiHui-xuan，WuRui-yi
　　（DepartmentofPublicTeaching,LimingVocationalUniversity,Quanzhou362000,China）
　　Abstract:ThepapermainlyputsforwardsasolutiontotheproblemCof2010ChinaundergraduateMCM.Therefore,respectivelyconcerningthethreequestionsraisedbytheproblemCof2000ChinaundergraduateMCM,anonlinearrogrammingmodelwasproposed,andMATLABwasusedfortheoptimumsolutionofthemodel.
　　Keywords:nonlinearprogramming，pipeinstallation，optimizationmodel
　　
　　附件
　　問題1的程序：
　　a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5;%煉油廠位置及其附加費參數
　　x=fminunc('fun',[000]);
　　h=fun(x);
　　P=[x(1),x(2)],Q=[c,x(3)],h
　　A=[0,a];B=[l,b];X=[x(1),0];
　　plot([P(1),Q(1)],[P(2)Q(2)],'o-','LineWidth',2),holdon
　　plot([P(1),A(1)],[P(2),A(2)],'o-','LineWidth',2),holdon
　　plot([P(1),X(1)],[P(2),X(2)],'o-','LineWidth',2),holdon
　　plot([Q(1),B(1)],[Q(2),B(2)],'o-','LineWidth',2),holdon
　　plot([c,c],[0,9],'r--')
　　text(A(1),A(2)+0.3,'A'),text(B(1),B(2)+0.3,'B')
　　text(P(1),P(2)+0.3,'P'),text(Q(1),Q(2)+0.3,'Q')
　　functionh=fun(x)
　　a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5;
　　h=x(2)+sqrt(x(1)^2+(x(2)-a)^2)+sqrt((x(1)-c)^2+(x(2)-x(3))^2)+k*sqrt((l-c)^2+(b-x(3))^2);
　　問題2的程序：
　　a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5;%煉油廠位置及其附加費參數
　　x=fminunc('fun2',[000]);
　　h=fun2(x);
　　P=[x(1),x(2)],Q=[c,x(3)],h
　　A=[0,a];B=[l,b];X=[x(1),0];
　　plot([P(1),Q(1)],[P(2)Q(2)],'o-','LineWidth',2),holdon
　　plot([P(1),A(1)],[P(2),A(2)],'o-','LineWidth',2),holdon
　　plot([P(1),X(1)],[P(2),X(2)],'o-','LineWidth',2),holdon
　　plot([Q(1),B(1)],[Q(2),B(2)],'o-','LineWidth',2),holdon
　　plot([c,c],[0,9],'r--')
　　text(A(1),A(2)+0.3,'A'),text(B(1),B(2)+0.3,'B')
　　text(P(1),P(2)+0.3,'P'),text(Q(1),Q(2)+0.3,'Q')
　　functionh=fun2(x)
　　a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5;
　　h=7.2*x(2)+5.6*sqrt(x(1)^2+(x(2)-a)^2)+sqrt((x(1)-c)^2+6.0*(x(2)-x(3))^2)+k*sqrt((l-c)^2+(21.5+6)*(b-x(3))^2);