金融數學是一門新興學科，是“金融高技術”的重要組成部分。金融數學的研究目標是利用數學在某些方面的優勢，圍繞金融市場存在的問題，通過建立模型模擬為實際金融部門提供較深入的技術分析咨詢，從而解決金融行業實際運行中存在的問題。隨著社會經濟的發展，特別是金融在經濟中的地位越來越重要，金融數學相關理論也得到突飛猛進的發展，為解決金融實踐中的問題發揮日益重要的作用，本文將就金融數學的相關理論及現實應用進行論述。

　　《金融經濟學研究》經濟師職稱發表，創刊于1986年，其原名為《廣州金融專科學校學報》;1998年更名為《廣州金融高等專科學校學報》;2005年因本校升本而更名為《廣東金融學院學報》;經新聞出版總署批準(新出審字(2012)657號)，從2013年起更名為《金融經濟學研究》。

　　一、金融數學的定義

　　金融數學或數學金融學亦或數理金融學都是由mathematicalfinance翻譯而來，可以理解為是以數學為工具解決金融問題的學科。金融數學是通過建立適合金融行業具體實情的數學模型，編寫一定的計算機軟件，對理論研究結果進行仿真計算，對實際數據進行計量經濟分析研究的一門應用學科。

　　金融數學的最大特點是大量應用現代數學工具，特別是伴隨著控制理論和隨機過程的研究成果在金融領域中的創造性應用，金融數學——一門新興的邊緣學科應運而生，國際上也稱數理金融(Mathe--matical Finance)。金融數學起源于金融問題的研究。隨著金融市場的發展，金融學越來越與數學緊密相連，取得了突飛猛進的發展。

　　廣義來說，金融數學是指應用數學理論和方法，研究金融經濟運行規律的一門新興學科，狹義的來講，金融數學的主要研究內容是關于在不確定多期條件下的證券組合選擇和資產定價理論，而套利、最優和均衡則是這一理論中最重要的三個概念。

　　金融數學從一些金融或者經濟假設出發，用抽象的數學方法，建立金融機理的數學橫型。金融數學的范圍包括數學概念和方法(或者其他自然科學方法)在金融學、特別足在金融理論中的各種應用，應用的目的是用數學的語言來表達、推理和論證金融學原理。金融數學是金融學的一個分支，因此金融數學首先以金融理論為背景和基礎，這倒并不意味著從事金融數學一定要受過金融方面的正規的學術性訓練(這確實大有益處)。盡管金融學由于具有自己充足的特征而從經濟學中獨立出來，但它畢竟是作為經濟學的應用分支學科發展起來的，因此金融數學也以經濟原理和技術為基礎和背景。由于金融還同會計學、財務學、稅務理論等有密切的聯系，金融數學還需要以會計原理、財務技術、稅收理論等方面的知識為基礎。

　　金融數學的理論基礎當然還包括現代數學理論和統計學理論，其首要環節是數學或統計建模，也就是從復雜的金融環境中篩選出關鍵因素以分辨出相關因素與無關因素，然后從一系列的假設條件出發，推導出各種關系，最后得到結論對作出對結論的解釋。這種建模活動不僅非常有用而且極為重要，因為在金融中，假設中一個小的失誤、一個錯誤的推導、一個有誤的結論、或者一個對結論的錯誤解釋甚至都會導致一次金融的災難。此外，在金融數學的研究中計算機技術的應用也具有十分突出的位置。

　　綜上可見，金融數學是金融學、數學、統計學、經濟學與計算機科學的交叉學科，屬于應用科學層次。金融數學也是金融學繼定性描述階段以后的一個更高層次的數量化的分析性學科。

　　二、現代金融數學理論的發展

　　1　隨機最優控制理論

　　現代金融理論一個更值得重視的應用領域是解決帶有隨機性的問題，解決這個問題的重要手段是隨機最優控制理論。隨機最優控制是控制理論中在相當晚時期得到發展的。應用貝爾曼最優化原理，并用測度理論和泛函分析方法，是數學家們在本世紀60年代末和70年代初對于這一新的數學研究領域作出的重要貢獻。金融學家們對于隨機最優控制的理論方法的吸收是十分迅速的。70年代初開始出現了幾篇經濟學論文，其中有默頓(Merton)使用連續時間方法論述消費和資產組合的問題，有布羅克(Brock)和米爾曼(Mirman)在不確定情況下使用離散時間方法進行的經濟最優增長問題。從此以后，隨機最優控制方法應用到大多數的金融領域，在國內以彭實戈為代表的中青年學者對此也做出了卓越貢獻。

　　2　鞅理論

　　現代金融理論最新的研究成果是鞅理論的引入。在金融市場是有效的假定F，證券的價格可以等價于一個鞅隨機過程。由Karatzas和Shreve等人倡導的鞅方法直接把鞅理論引入到現代金融理論中，利用等價鞅測度的概念研究衍生證券的定價問題，得到的結果不僅能深刻揭示金融市場的運行規律，而且可以提供一套有效的算法，求解復雜的衍生金融產品的定價與風險管理問題。利用鞅理論研究金融理論的另一個好處是它能夠較好地解決金融市場不完備時的衍生證券定價問題，從而使現代金融理論取得了突破性的進展。目前基于鞅方法的衍生證券定價理論在現代金融理論中占主導地位，但在國內還是一個空白。

　　3　脈沖最優控制理論

　　在證券投資決策問題中，大部分的研究假設交易速率是有界的和連續變化的，而實際上投資者的交易速率不是有界的，也不是頻繁改變的。因此，用連續時間隨機控制理論來研究，僅僅是一種近似，使得問題變得更容易處理，但是事實上往往與實際問題有較大的距離。因此，若用脈沖最優控制方法研究證券投資決策問題看似更為合適。

　　4　微分對策理論

　　現代金融理論的另一個值得注意的研究動向是運用微分對策方法研究期權定價問題和投資決策問題，目前取得了一定的成果。當金融市場不滿足穩態假定或出現異常波動時，證券價格往往不服從幾何布朗運動，這時用隨機動態模型研究證券投資決策問題的方法無論從理論上，還是從實際上都存在著較大偏差。用微分對策方法研究金融決策問題可以放松這一假設，把不確定擾動假想成敵對的一方。針對最差情況加以優化，可以得到“魯棒性”很強的投資策略。另外，求解微分對策的貝爾曼方程是一階偏微分方程，比求解隨機控制問題的二階偏微分方程要簡單得多。因此，運用微分對策方法研究金融問題具有廣闊的應用前景，對重復對策、隨機對策、多人對策理論在證券投資決策問題中的應用研究更加值得重視的研究課題。

　　三、金融數學理論的應用

　　金融數學研究的一項重要任務就是檢驗什么類型的數學理論適合于運用在金融理論中以及預算新的數學理論應用于金融領域的可能性。金融系統的本質特性與經濟系統是一致的，即經濟利益它在很大程度上決定著金融實體的行為。能夠描述或者表征著本質特征的數學理論與方法就會得到充分的應用，而不能描述或表征著本質特征的數學理論與方法將逐漸被“揚棄”或者淘汰;如果數學武器庫中尚沒有這類武器的話，數學家們就會同金融學家一道去發展這類武器以滿足金融領域的需要。長期以來，人們用以描述金融經濟的數學模型從本質上來說只有兩類：一類是牛頓(Newton)的決定論模型，即給定初始條件或者狀態，則金融經濟系統的行為完全確定，第二類是愛因斯坦(Einstein)的隨機游動模型或者布朗(Bro~vn)g：動模型。 簡單地說，即確定性模型和隨機性模型。確定性狀態和隨機性狀態也被認為是兩種對稱的狀態。

　　同時，所用模型的數學形式也基本上是線性的，或者存在非線性也是假設金融系統運行在線性穩定而加以一階線性化處理，這些似乎成了一種傳統和定式。尤其是近30多年來，金融界已分成兩派。一派是技術分析學者，相信市場遵從有規律的周期性循環;而另一派即定量分析學者則認為市場不存在周期性循環。最近的研究利用物理學中開發出的方法來分析非線性系統，認為真實情況介于兩者之間。這樣，金融數學至少面臨下列四個問題亟待解決：

　　首先，對金融經濟現象的變與動的直覺三性(隨機性，模糊性，混沌性)進行綜合分析研究，已確定從此到彼得過渡條件、轉換機理、演變過程、本質特征、產生結果以及人們所采取的相應的金融對策，尤其是貨幣政策。

　　其次，對以信用貨幣為核心的三量：貨幣需求量、貨幣共給量、金融資金流向流量進行綜合分析研究，對貨幣均衡和非均衡的合理界定提供正確的金融理論以及數學模型，為改善社會總量平衡關系將對財政、金融、物質、外匯四大平衡提供依據。

　　再次，對支撐現代金融大廈的三大支柱即三率(利率、匯率、保率、擴至經濟領域還包含稅率、物價綜合指數)進行綜合分析研究。為制定合理的三(五)率體系提供符合實際的金融數學模型支撐。最后，對分別以生產力要素選擇、地區或部門資源配置、綜合金融經濟指標為研究對象的三觀(微觀、中觀、宏觀)進行綜合分析研究，以便將其成果更充分地更廣泛地更方便地應用于金融經濟領域。隨著社會經濟的發展，特別是現代金融的地位越來越重要，將會有更新的更復雜的金融問題需要我們去研究，去探討，去解決。

　　參考文獻：

　　[1]Fama E.Efficient capital markets：a review of theory andempirical work[J].Journal of Financial，May，1970，25(2)：384-417

　　[2]王金平，李治.金融數學研究前景展望[J]1.現代商貿工業，2008，(11)

　　[3]楊文婿，張素芬，概率論和金融學的結合——金融數學的現展綜述[J].今日科苑，2008，(12)

　　[4]彭實戈.倒向隨機微分方程及其應用[J].數學進展，1997.26(2)：97～112.