摘 要: 針對大學生數學自學能力定量評價的多因素特點，提出了一種基于不確定型層次分析法和白化權函數的大學生數學自學能力定量評價的方法; 首先分析影響大學生數學自學能力的影響因素，建立大學生自學能力指標體系; 其次通過引入最優傳遞矩陣，使層次分析法中的判斷矩陣自然滿足一致性，從而得到各級指標的權重; 再次構建基于白化權函數的數學自學能力評價模型，建立白化權函數，求出各級指標的灰色評價權重矩陣; 最后將該模型應用于綜合評價大學生自主學習能力; 結果表明: 此模型減少了評價者主觀因素的影響，給出了比較客觀的評價結果，能夠高效地定量評價大學生數學自學能力。

　　關鍵詞: AHP; 白化權函數; 影響因素; 自學能力評價

　　0 引 言

　　隨著“大數據”時代的來臨，知識更新的速度迅猛發展，任何大學生在學校接受的教育不可能“用之不盡”，所以走出校園之后，也應該“活到老、學到老”，這就要求大學生要具有較強的自學能力。所謂的自學能力是指一個人獨立學習的能力，也是一個人獲取知識的能力。它是一個人多種智力因素的結合和多種心理機制參與的綜合性能力。而對于大學生來說，數學是一門重要的“工具課”，它會應用于將來所從事的各項工作中。因此，當代大學生必須具有終身學習數學的能力，這樣才能做到可持續發展。然而，影響數學自學能力的因素是多方面的，只有全面考慮這些影響因素及定量分析其起作用的大小，才能正確地評價自學能力的高低，從而“對癥下藥”，有效地提高大學生的自學能力。

　　1 大學生數學自學能力指標體系的構建

　　通過查閱文獻、訪問、問卷調查等，遵循科學性、合理性和可行性的原則，綜合考慮各方面意見，得出了影響大學生數學自學能力的主要指標，如表 1所示。大學生數學自學能力評價體系是一個多目標、多屬性問題，因此可采用層次分析法來確定各因素的權重。如: 王有文[1]研究了基于 AHP 的模糊綜合評價模型在大學生高等數學能力評價中的應用。層次分析法雖然能定量分析各因素所起作用的大小，但是它也有不足之處，最突出的問題就是判斷矩陣的一致性難以實現。這促使許多學者將改進的層次分析法用于各種評估。如: 胡芬[2]研究了基于改進層次分析法的高職學生創新能力的評價; 趙璐[3]研究了基于最優傳遞矩陣的不確定層次分析法在玻璃棧道安全性評價中的應用; 鄭重等[4]研究了改進模糊層次分析法在采動滑坡穩定性因素評價中的應用; 王建等[5]研究了改進模糊層次分析法在 AUV 總體性能評價中的應用。他們采用改進的層次分析法，使判斷矩陣自然地滿足一致性要求，而勿需進行一致性檢驗。另一方面，白化權函數是體現從定性分析到定量描述的關鍵步驟，它也適合于各種評估。如: 郭小東等[6]、俞素平等[7]分別將白化權函數用于安全性評估和風險灰色評估; 強鳳嬌等[8]研究了基于區間數觀察值的灰色白化權函數聚類模型重構; 陳繼光等[9]、曾靜等[10]用白化權函數評估水環境質量和大學生亞健康狀況。基于他們的研究方法，本文采用不確定層次分析法的思想，使用區間數而不是確定的數來衡量指標因子的重要性，通過引入最優傳遞矩陣，使判斷矩陣自然滿足一致性，不需進行一致性檢驗，并給出評價指標權重的計算步驟。最后通過引入白化權函數，計算并綜合評估每個指標的評價權重矩陣。

　　2 自學能力評價模型的建立

　　2. 1 計算大學生數學自學能力指標權重

　　計算步驟如下: ( 1) 由專家構造區間數判斷矩陣 A = ( aij ) n×n， aij =[a- ij，a+ ij]; ( 2) 將區間數判斷矩陣 A= ( aij) n×n分成兩個矩陣 A- = ( a- ij ) n×n，A+ = ( a+ ij ) n×n ; ( 3) 分別計算 B- = ( lna- ij ) n×n，B+ = ( lna+ ij ) n×n ; ( 4) 利用 cij = 1 n ∑ n k = 1 ( bik - bjk ) 將 B-，B+ 化為最優傳遞矩陣 C- = ( c - ij ) n×n，C+ = ( c + ij ) n×n ; ( 5) 利用 A* = ( e cij ) n×n將 C-，C+ 化為一致性矩陣( A* ) -，( A* ) + ; ( 6) 利用 wi = ∑ n j = 1 a* ij ∑ n i = 1 ∑ n j = 1 a* ij ( i，j = 1，2，…，n) 分別計算出 w- i ，w+ i ，最后 wi = w- i + w+ i 2 。按照層次分析法的 1-9 標度法，由相關專家對表 1 中的指標進行兩兩比較，分別得到目標層 A 和準則層 B1，B2，B3，B4，B5 的區間數判斷矩陣 A，B1， B2，B3，B4，B5 如下: A= [1，1] [1 /5，1 /4] [1 /4，1 /3] [2，3] [3，4][4，5] [1，1] [3，4] [5，6] [6，7][3，4] [1 /4，1 /3] [1，1] [1 /5，1 /4] [1 /6，1 /5][1 /3，1 /2] [1 /6，1 /5] [4，5] [1，1] [2，3][1 /4，1 /3] [1 /7，1 /6] [5，6] [1 /3，1 /2] [1，1  ]  B1 = [1，1] [1 /8，1 /7] [5，6][7，8] [1，1] [8，9][1 /6，1 /5] [1 /9，1 /8] [1，1 ] B2 = [1，1] [1 /7，1 /6] [3，4][6，7] [1，1] [8，9][1 /4，1 /3] [1 /9，1 /8] [1，1 ] B3 = [1，1] [1 /6，1 /5] [1 /4，1 /3][5，6] [1，1] [1 /3，1 /2][3，4] [2，3] [1，1  ]

　　B4 = [1，1] [4，5] [1 /4，1 /3][1 /5，1 /4] [1，1] [2，3][3，4] [1 /3，1 /2] [1，1  ]  B5 = [1，1] [4，5][1 /5，1 /4] [1，1 ( ) ]根據上述計算過程式( 1) —式( 6) ，以矩陣 A 為例計算二級指標權重如下: 由步驟( 2) ，把矩陣 A 拆分為 A- = 1 1 /5 1 /4 2 3 4 1 3 5 6 3 1 /4 1 1 /5 1 /6 1 /3 1 /6 4 1 2 1 /4 1 /7 5 1 /  3 1  A+ = 1 1 /4 1 /3 3 4 5 1 4 6 7 4 1 /3 1 1 /4 1 /5 1 /2 1 /5 5 1 3 1 /3 1 /6 6 1 /  2 1 由步驟( 3) 計算出: B- = 0 -1. 609 4 -1. 386 3 0. 693 1 1. 098 6 1. 386 3 0 1. 098 6 1. 609 4 1. 791 8 1. 098 6 -1. 386 3 0 -1. 609 4 -1. 791 8 -1. 098 6 -1. 791 8 1. 386 3 0 0. 693 1  -1. 386 3 -1. 945 9 1. 609 4 -1. 098 6 0  B+ = 0 -1. 386 3 -1. 098 6 1. 098 6 1. 386 3 1. 609 4 0 1. 386 3 1. 791 8 1. 945 9 1. 386 3 -1. 098 6 0 -1. 386 3 -1. 609 4 -0. 693 1 -1. 609 4 1. 609 4 0 1. 098 6  -1. 098 6 -1. 791 8 1. 791 8 -0. 693 1 0 由步驟( 4) 計算出: C- = 0 -1. 418 0 0. 497 0 -0. 078 6 0. 323 5 1. 418 0 0 1. 915 0 1. 339 4 1. 741 5 -0. 497 0 -1. 915 0 0 -0. 575 6 -0. 173 5 0. 078 6 -1. 339 4 0. 575 6 0 0. 402 1  -0. 323 5 -1. 741 5 0. 173 5 -0. 402 1 0  C+ = 0 -1. 346 7 -0. 541 6 -0. 081 1 0. 358 3 1. 346 7 0 0. 805 1 1. 265 6 1. 705 0 0. 541 6 -0. 805 1 0 0. 460 5 0. 899 9 0. 081 1 -1. 265 6 -0. 460 5 0 0. 439 4  -0. 358 3 -1. 705 0 -0. 899 9 -0. 439 4 0 由步驟( 5) 計算出: ( A* ) - = 1 0. 242 2 1. 643 8 0. 924 4 1. 382 0 4. 128 9 1 6. 786 9 3. 816 8 5. 705 9 0. 608 4 0. 147 3 1 0. 562 4 0. 840 7 1. 081 8 0. 262 0 1. 778 2 1 1. 495 0  0. 723 6 0. 175 3 1. 189 5 0. 668 9 1  ( A* ) + = 1 0. 260 1 0. 581 8 0. 922 1 1. 430 9 3. 844 7 1 2. 236 9 3. 545 3 5. 501 4 1. 718 8 0. 447 0 1 1. 584 9 2. 459 4 1. 084 5 0. 282 1 0. 631 0 1 1. 551 8  0. 698 9 0. 181 8 0. 406 6 0. 644 4 1 由步驟( 6) 計算出: w- = ( 0. 132 6 0. 547 4 0. 080 7 0. 143 4 0. 095 9) w+ = ( 0. 123 3 0. 474 2 0. 212 0 0. 133 7 0. 056 8) 從而得二級指標的權重 w= ( 0. 128 0 0. 510 8 0. 146 3 0. 138 5 0. 076 4) .同樣，可以獲得各三級指標的權重，如 表 2 所示。

　　2. 2 基于白化權函數的大學生數學自學能力評價

　　本文以 10 分制為標準，綜合相關專家和數學任課老師的意見，將大學生數學自學能力分為差、中、良、優 4 個評價灰類，這 4 個評價灰類的評價區間分別為[2，4]、[4，7. 2]、[7. 2，8. 6]、[8. 6，10]。 ( 1) 根據上述評價區間分別得到差、中、良、優的白化權函數如下: f1( x) = 0 x�黐1，5. 6] 1 x∈[1，3] 5. 6-x 2. 6 x∈[3，5. 6  ] f2( x) = 0 x�黐3，7. 9] x-3 2. 6 x∈[3，5. 6] 7. 9-x 2. 3 x∈[5. 6，7. 9  ] f3( x) = 0 x�黐5. 6，9. 3] x-5. 6 2. 3 x∈[5. 6，7. 9] 9. 3-x 1. 4 x∈[7. 9，9. 3  ] f4( x) = 0 x�黐7. 9，11] x-7. 9 1. 4 x∈[7. 9，9. 3] 1 x∈[9. 3，11  ] ( 2) 求出灰色評價權矩陣。表 3 是 5 位專家對隨機抽取的某位大學生的評分，評分范圍為 1 ～ 10， 1 代表最差，10 代表最好。

　　把表 3 中的數據分別代入差、中、良、優的白化權函數得到每種灰類的評價系數與總灰度評價系數，如表 4 所示。由表 4 易得三級指標 C 的灰色評價權重矩陣，如表 5 所示。

　　從而可得二級指標 B1，B2，B3，B4，B5 的灰色權評價向量 δ1，δ2，δ3，δ4，δ5 如下: δ1 =( 0. 179 9 0. 787 4 0. 034 7) × 0. 000 0 0. 243 5 0. 570 8 0. 185 7 0. 046 2 0. 397 3 0. 527 9 0. 028 6  0. 369 2 0. 474 3 0. 156 5 0. 000 0 = ( 0. 049 0 0. 373 0 0. 523 0 0. 055 0) δ2 =( 0. 164 3 0. 770 0 0. 065 7) × 0. 000 0 0. 078 3 0. 721 7 0. 200 0 0. 000 0 0. 156 5 0. 657 8 0. 185 7  0. 000 0 0. 321 8 0. 506 8 0. 171 4 = ( 0. 000 0 0. 154 5 0. 658 4 0. 187 1) δ3 =( 0. 100 8 0. 351 2 0. 548 0) × 0. 046 2 0. 397 3 0. 385 1 0. 171 4 0. 123 1 0. 398 6 0. 464 0 0. 014 3  0. 046 2 0. 475 5 0. 464 0 0. 014 3 = ( 0. 073 2 0. 440 0 0. 456 7 0. 030 1) δ4 =( 0. 359 5 0. 270 0 0. 370 5) × 0. 169 2 0. 552 5 0. 278 3 0. 000 0 0. 246 2 0. 562 5 0. 191 3 0. 000 0  0. 492 3 0. 472 9 0. 034 8 0. 000 0 = ( 0. 309 7 0. 525 7 0. 164 6 0. 000 0) δ5 =( 0. 817 3 0. 182 7) × 0. 046 2 0. 475 5 0. 464 0 0. 014 3 ( ) 0. 338 4 0. 626 8 0. 034 8 0. 000 0 = ( 0. 099 6 0. 503 1 0. 385 6 0. 011 7) 所以，二級指標 B 的灰色評價權矩陣為 δ = δ1 δ2 δ3 δ4 δ 5 = 0. 049 0 0. 373 0 0. 523 0 0. 055 0 0. 000 0 0. 154 5 0. 658 4 0. 187 1 0. 073 2 0. 440 0 0. 456 7 0. 030 1 0. 309 7 0. 525 7 0. 164 6 0. 000 0  0. 099 6 0. 503 1 0. 385 6 0. 011 7 ( 3) 對大學生數學自學能力進行綜合評價。目標層 A 的灰色系數通過二級指標的權重和灰色評價權重矩陣得到: ξ=( 0. 128 0 0. 510 8 0. 146 3 0. 138 5 0. 076 4) × 0. 049 0 0. 373 0 0. 523 0 0. 055 0 0. 000 0 0. 154 5 0. 658 4 0. 187 1 0. 073 2 0. 440 0 0. 456 7 0. 030 1 0. 309 7 0. 525 7 0. 164 6 0. 000 0  0. 099 6 0. 503 1 0. 385 6 0. 011 7 = ( 0. 067 5 0. 302 3 0. 522 3 0. 107 9) 由 ξ = ( 0. 067 5 0. 302 3 0. 522 3 0. 107 9) 可知，該學生的數學能力關于差、中、良、優的比例分別為 6. 75% 、30. 23% 、52. 23% 、10. 79% ，由最大隸屬度原則，該生的數學自學能力評價結果為良好。

　　3 結束語

　　文章從自主閱讀數學材料的能力、自主學習動機、自主學習計劃、自主練習運用能力和自主評價能力 5 個方面構建了大學生數學自主學習能力指標體系，能夠較科學地、全面地反映影響大學生數學自學能力的各項因素。文章運用了改進的層次分析法和白化權函數對大學生數學自學能力進行定量評價，由最大隸屬度原則給出了比較客觀的評價結果，減少了評價者主觀因素的影響。本文的結果能夠幫助大學生找出影響自學能力的主要原因，從根本上提高自學能力。同時本文給出的評價方法較為客觀全面，可以廣泛用于多因素的能力評定。

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