摘 要: 針對一種新的增量隨機過程———馬爾可夫調制的雙分數布朗運動，基于可靠性數學思想，利用測度變換技巧將實際概率測度變換成等價鞅測度，研究了在此模型下連續時間的固定價格亞式期權定價問題; 通過亞式期權所滿足的概率密度轉移函數，將經典的測度變換方法與擬鞅相結合，并推廣到受雙分數布朗運動驅動的 B-S 市場環境中，利用風險中性定價方法分別得到具有固定執行價格的幾何平均亞式看漲和看跌期權的定價公式; 雙分數布朗運動不具有獨立性和平穩增量性，更符合顯示情形，且與基于分數布朗運動的期權定價公式進行比較分析，可知分數布朗運動只是雙分數布朗運動的一種特殊情形，可基于雙分數布朗運動對分數布朗運動的亞式期權期權定價模型進行推廣。

　　關鍵詞: 馬爾可夫調制; 雙分數布朗運動; 亞式期權; 等價鞅測度

　　0 引 言

　　隨著經濟的發展和生活水平的提高，人們有越來越高的經濟能力用于投資，由此衍生出來的各種各樣的期權定價也越來越受眾多投資者和學者的關注。學者研究發現分數布朗運動可以取代標準布朗運動，而雙分數布朗運動是比分數布朗運動更一般的高斯過程，適用范圍更加廣泛。文獻[1]利用保險精算的方法給出了雙分數布朗運動環境下最值期權的定價。亞式期權又被稱為平均價格期權，是一種新型路徑依賴型期權，它在到期日的損益依賴于合同期內某段時間標的資產的平均價格，這種路徑依賴型期權不僅減少期權到期時市場上的人為操控，也可以準確地反映股票價格變化的趨勢，相對歐式期權而言，風險更小。因此研究亞式期權具有較大的現實意義。文獻[2]利用擬條件期望的方法，得到了受分數布朗運動驅動的條件下，針對浮動執行價格的幾何平均亞式期權定價公式。文獻[3]通過 It^ o 公式推導出亞式期權所滿足的概率密度轉移函數，用無套利定價方法給出了分數布朗運動環境下幾何平均亞式看漲期權定價公式。文獻[4]利用了正態分布的性質，采用保險精算的方法對連續型幾何平均亞式期權進行定價。本文利用馬爾可夫調制的雙分數布朗運動來描述 B-S 市場中風險資產的價格動態，利用馬爾可夫鏈刻畫經濟周期中的結構變化，通過亞式期權所滿足的概率密度轉移函數，采用測度變換技巧將實際概率測度變換成等價鞅測度，利用風險中性定價原理分別得到具有固定執行價格的亞式看漲和看跌期權的定價公式，且可基于雙分數布朗運動亞式期權定價模型對分數布朗運動的幾何平均亞式期權定價模型進行推廣。

　　1 模型假設

　　設( Ω，F，P) 為一概率空間，0

　　2 具有固定執行價格的亞式看漲、看跌期權定價公式

　　對于固定執行價格的幾何平均亞式看漲期權，它的損益為 ξ1 = exp 1 T ∫ T 0 ( ) { } ln Su du - K + ( 3) 令 It = ∫ t 0 ln Su du，則 ξ1 ( = e I t T + 1 T ∫ T t ln SuS -1 t du + T-t T ln St ) - K + = ( XtYt - K) + ( 4) 其中，Xt = e 1 T ∫ t 0 ln Sudu S T-t T t ，Yt = e 1 T ∫ T t ln SuS -1du t 。注意到當前時刻是 t 時刻，則 Xt 是已知的，由式( 2) 可得: Yt = e 1 T ∫ T t ln Su St du = e 1 T ∫ T t ( ∫ u r rsds-∫ u t 1 2 σ2 s ds2HK+ ∫ u t σs [ ] dW 珚HK) du = e 1 T ( ∫ T t∫ T s rsduds- 1 2 ∫ T t∫ T s σ2 s duds2HK) × e 1 T ∫ T t∫ T s σsdudW 珚HK = e 1 T ( ∫ T t rs( T-s) ds- 1 2 ∫ T t σ2 s( T-s) ds2HK) × e( 1 T ∫ T t σs( T-s) dW 珚HK) = e( r* ( t) +Zt ) ( 5) 其中， r * ( t) = 1 T ∫ T t rs ( T - s) ds - 1 2 ∫ T t σ2 s ( T - s) ds 2 ( ) HK Zt = 1 T ∫ T t σs ( T - s) dW 珚HK s 根據雙分數布朗運動的定義及性質可得: EQ[Zt FX T]= 0 由分數型等距公式[12]可得: DQ[Zt FX T ) ]= ∫ T t∫ T t ( T - u) ( T - ν) σuσνdudν T2 = σ* 2 T2 其中， σ* 2 = ∫ T t∫ T t ( T - u) ( T - ν) σuσνΦ ( u，v) dudν 那么 Zt FX T ∶ N 0， σ* 2 ( ) T2 ( 6) 令 ut 表示幾何平均亞式看漲期權的損益在當前時刻的貼現值，則由式( 3) ( 4) 可得: ut = e -∫ T t rsds ξ1 = e -∫ T t rsds e 1 T ∫ T 0 ln Sudu ( ) - K + = e -∫ T t rsds ( XtYt - K) + ( 7) 令 a =Xter* ( t) ，b = σ* 2 T2 ，將式( 5) 代入式( 7) ，則 ut = e -∫ T t rsds ( aeZt - K) + ( 8) 根據風險中性定價原則，期權的現值就是到期收益的折現值關于等價鞅測度的數學期望，則期權在時刻 t 的價格可以表示為 Ct =E[ut Gt，T ) ]，Gt，T = FS t ∨FX T，由此可得如下定理。

　　2. 1 具有固定執行價格的亞式看漲期權定價公式

　　定理 1 具有固定執行價格的幾何平均亞式看漲期權價格為 Ct = ST e -∫ T t rsds Φ ( d2 ) - Xter* ( t) + σ* 2 2T2 -∫ T t rsds Φ ( d1 ) 其中， d1 = T[ln Xt-ln K+r * ( t) ]+ σ* 2 T σ* = d2+槡b d2 = T[ln Xt-ln K+r * ( t) ] σ* 證明 根據式( 6) 中 Zt 的分布和式( 8) 確定 ut 的分布: Ft ( x) = Q( ut≤x Gt，T) = Q( ξ1≤xe∫ T t rsds Gt，T) = Q( aeZt -K≤xe∫ T t rsds Gt，T ) = Q( Zt≤ln( K+xe∫ T t rsds ) -ln a Gt，T ) = Φ ln( K+xe∫ T t rsds ) -ln a 槡 { } b 隨機變量 ut 的期望為 EQ[ut Gt，T ]= ∫ +∞ 0 xdFt ( x) = ∫ +∞ 0 xdΦ ln( K + xe∫ T t rsds ) - ln a 槡 { } b ( 9) 令 y = ln( K + xe∫ T t rsds ) - ln a 槡b ，則 x = e( 槡b y+lna-∫ T t rsds) - Ke -∫ T t rsds ( 10) 把式( 10) 代入式( 9) 可得: EQ[ut Gt，T ]= ∫ +∞ -d2 e 槡b y+ln a-∫ T t rsds dΦ( y) - ∫ +∞ -d2 Ke -∫ T t rsds dΦ( y) = ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 e 槡b y dΦ( y) - ∫ +∞ -d2 Ke -∫ T t rsds dΦ( y) = ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 e 槡b y dΦ( y) - Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) = ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 1 槡2π e - 1 2 ( y-槡b ) 2 + b 2 dy - Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) = ae b 2 -∫ T t rsds Φ( d2 + 槡b ) - Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) = ae b 2 -∫ T t rsds Φ( d1 ) - Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) ( 11) 將 a = Xter* ( t) ，b = σ* 2 T2 代入式( 11) 即可得: Ct = E[ut Gt，T ]= Xter* ( t) + σ* 2 2T2 - ∫ T t rs dsΦ ( d1 ) - Ke -∫ T t rsds Φ ( d2 )

　　2. 2 具有固定執行價格的亞式看跌期權定價公式

　　幾何平均亞式看跌期權的損益為 ξ2 = K - e 1 T ∫ T 0 ln Sud ( )u + ( 12) 令 a = Xter* ( t) ，b = σ* 2 T2 ，將式( 5) 代入式( 11) ，則它的損益在當前時刻的貼現值為 νt = e -∫ T t rsds ( K - aeZt ) + 其看跌期權在時刻 t 的價格可以表示為 Pt = E[vt Gt，T]，Gt，T =FS t ∨FX T，由此可得如下定理。定理 2 具有固定執行價格的幾何平均亞式看跌期權價格為 Pt = ST e -∫ T t rsds Φ ( d2 ) - Xter* ( t) + σ* 2 2T2 -∫ T t rsds Φ ( d1 ) 其中， d1 = T[ln Xt - ln K + r * ( t) ]+ σ* 2 T σ* d2 = T[ln Xt - ln K + r * ( t) ] σ* 證明 同理，由式( 6) 中Zt 的分布和式( 8) 可得損益 νt 的條件分布: Ft ( x) = Q( νt ≤ x Gt，T ) = Q( ξ2 ≤ xe∫ T t rsds Gt，T ) = Q( Zt ≥ ln( K - xe∫ T t rsds ) - ln a Gt，T ) = 1 - Φ( ln( K - xe∫ T t rsds ) - ln a 槡b ) 隨機變量 νt 的期望為 EQ[νt Gt，T ]= ∫ +∞ 0 xdFt ( x) = - ∫ +∞ 0 xdΦ ln( K - xe∫ T t rsds ) - ln a 槡 { } ω = ln( K - xe∫ T t rsds ) - ln a 槡b 可得: x = Ke -∫ T t rsds - e( 槡bω +ln a-∫ T t rsds) ( 13) 所以 將 式 ( 13 ) 代入看跌期權的價格公式，可得: EQ[νt Gt，T ]= ∫ +∞ -d2 Ke -∫ T t rsds dΦ( ω) - ∫ +∞ -d2 e 槡bω +ln a-∫ T t rsds dΦ( ω) = ∫ +∞ -d2 Ke -∫ T t rsds dΦ( ω) - ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 e 槡bω dΦ( ω) = Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) - ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 1 槡2π e - 1 2 ( ω -槡b ) 2 + b 2 dω = Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) - ae b 2 -∫ T t rsds Φ( d2 + 槡b ) = Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) - ae b 2 -∫ T t rsds Φ( d1 ) ( 14) 將 a = Xter* ( t) ，b = σ* 2 T2 代入式( 14) ，即可得: Pt = E[vt Gt，T]= Ke-∫ T t rsds Φ ( d2 ) -Xte r* ( t) + σ* 2 2T2 -∫ T t rsds Φ ( d1 )

　　3 結 論

　　通過等價-擬鞅測度變換，在市場利率、股票波動率和股票回報率均受 Markov 鏈調制的情形下得到了雙分數 B-S 市場的固定價格幾何平均亞式期權定價公式，將經典的測度變換方法與擬鞅相結合，并推廣到雙分數布朗運動市場環境。在一定程度上，相對多數只研究分數布朗運動或市場利率、股票波動率和股票回報率均為常數的模型有所改進。對于 Markov 鏈調制的受雙分數布朗運動驅動的浮動執行價格的亞式期權定價公式有待進一步研究。

　　參考文獻( References) :

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