摘要：本文主要就雨水管網系統中的模型進行了綜述。模型主要涉及到雨水系統中與管網密切相關的數學模型。主要是對相關模型的形式作了具體介紹，同時評價了部分模型的優缺點，最后還對一些模型的推導過程進行了詳細描述。從而達到了全面，綜合，準確地闡述了排水管網系統中的模型。
　　關鍵詞：排水系統，數學模型
　　
　　1．雨水管網匯流系統的數學模型
　　城市排水系統包括城市地表、道路邊溝、雨水口、檢查井等其他控制和調節設施。根據水力學特點，它可以分為兩個子系統，即地表徑流系統和管網匯流系統。雨水管網匯流系統中的管線多為圓形，也有其它形式的溝渠、明渠等。由于天然降雨都是有限的歷時，在時間上和空間上是變化的，所產生的地表徑流是隨時間變化的，管網匯流也是隨時間變化的，即是非恒定流。
　　采用水力學和水文學相結合的途徑，建立了三種雨水管網匯流系統的數學模型，動力波法、非線性運動波法、變參數的馬斯京根法，并對具體的方法給出詳盡的推導。動力波法采用的是管道—節點一管道的類似河網的三級聯解法，非線性運動波法采用的是牛頓迭代技術，改進的馬斯京根法拋棄了傳統的馬斯京根中的參數為一定值，參數隨流量的變化而變化。
　　1．1動力波法
　　通常用圣維南方程(Saint-VenantEquation)描述一維管道流動的數學模型，可以寫成如下形式：
　　水流連續方程:(1)
　　動量方程為：(2)
　　式中，為水位，為過水流量,過水寬度，過水斷面面積，為時間，二為距離，為流量模數，為重力加速度，為旁側入流流量。利用Preissmann四點加權隱式差分格式，對水流連續方程式(1)和水流動量方程式(2)進行離散。對差分方程進行線性化處理后可得如下線性差分方程組:
　　(3)
　　(4)
　　式中，、、、、、、、、、，為時間步長第斷面的差分方程的系數;、分別為第,斷面在時間內的水位增量;、，分別為第,斷面在時間內的流量增量。
　　流量守恒條件：進出某一雨水井點水量與該雨水井點實際水量增減相平衡，可用下式表示：
　　(5)
　　，雨水井處的面積，連接雨水井點時刻的流量之和。
　　能量守恒條件：連接雨水井點的各管段的水位增量與雨水井點的水位增量相同，如下表示
　　(6)
　　給定邊界條件:上游流量邊界，下游水位邊界或水位流量關系。聯立得到封閉的各雨水井點水位為未知量的方程組，據此可求出各雨水井點的水位，再分別求得各管道的水位和流量。該方法不僅可以計算樹狀雨水管網，還可以計算環狀的雨水管網。
　　1．2非線性運動波法
　　對于城市雨水管道只有節點入流，而沒有旁側入流，所以q=0；在忽略掉動量方程中的時間加速度項和位置加速度項后，方程(1),(2)可簡化為
　　，(7)
　　將方程代人曼寧公式得：
　　，，
　　采用四點非中心隱式差分格式離散方程，得到公式(8)：
　　，
　　，
　　根據牛頓迭代逼近法：
　　，令
　　，為牛頓迭代逼近次數，為坡度，為面積,為水力半徑。
　　已知上游邊界條件、初始邊界條件，采用四點非中心隱式差分格式，則可根據、、，推求。根據雨水管網的特點，一般已知上游雨水井的人流量，當管網的人流過程線已知后，根據管道的幾何尺寸及人流流量過程線利用牛頓迭代技術求得人流水位過程線，再根據上面介紹的方法求管道末端的水位過程線，將其轉化為流量過程線和下一管道雨水井的流量疊加后的合成流量作為下一管道的人流過程線，反復直至管道末端出口結束。
　　1．3馬斯京根法
　　馬斯京根法于1938年提出，是河道流量演算的一種基本方法，基本方程如下：
　　(9)
　　，，
　　式中、為管道入流和出流，、為計算參數，為時間，如已知上游入流過程及初始時刻的下游流量，就可逐步計算出下游流量過程。關于、的參數具體計算如下：
　　，，，令
　　，又有
　　故
　　，，，，
　　令，
　　(10)
　　(11)
　　式中，參數，管道直徑，計算管道長度，糙率，水深對應的弧度，參考流量，、基于參考流量的斷面面積和佛汝德數。求出管道末端的流量過程線后，應用Newton迭代法對式(12)求解得到，再計算出該斷面的水深。
　　三種方法均可用于城市雨水排水管網的設計和應用研究，可為城市雨水管網的設計研究提供了一個較為簡便實用的工具。三種方法中，非線性運動波法和馬斯京根法需要的資料比較少，但是模型的簡化較多，動力波模型未對圣維南方程進行簡化，需要較為詳細的資料，但是可以得到精度較高的解。其中改進的馬斯京根法中的參數是隨流量的變化而變化，更加符合實際流動情況。
　　2．雨水徑流污染模型
　　通常不透水地面的雨水徑流污染包括地表污染物在晴天的累積和暴雨時的沖刷兩個過程。如何在數學上定量表達污染物的累積和暴雨沖刷過程，是成功預測和模擬暴雨徑流污染的關鍵之一。目前表達污染物累積模型的常用數學方程包括冪函數、指數函數和飽和函數法，表達污染物暴雨沖刷模型的常用數學方程包括指數函數法和標定曲線法等．在應用和比較這些模型時，需要通過現場實測數據估算模型參數。由于參數眾多，模型復雜，參數估算比
　　較困難。目前國外已開發多種方法，用于估算暴雨徑流污染模型參數，如用于SWMM模型校準、優化技術、基于有限差分形式的反演計算以及針對指數下降模型提出的分析方法和遺傳算法。
　　2．1污染物累積模型——冪函數法
　　單位面積累積可沖刷污染物量表達式為
　　式中，T是兩次降雨間隔時問；C1是單位面積污染物最大累積量；C2是累積常數，C3是時間常數。
　　2．2污染物累積模型——指數函數法
　　單位面積累積可沖刷污染物量表達式為
　　式中，T是兩次降雨間隔時問；C1是單位面積污染物最大累積量；C2是污染物累積常數。
　　2．3污染物累積模型——飽和函數法
　　單位面積累積可沖刷污染物量表達式為
　　式中，T是兩次降雨間隔時問；Bo是單位面積污染物最大累積量；Co是污染物累積半飽和常數(污染物積累到最大累積量一半所需時間)。
　　2．4污染物沖刷模型——指數函數法
　　單位時問單位面積污染物沖刷量表示為
　　式中，是沖刷系數；是沖刷指數；B是t時刻地面可沖刷污染物量；q是單位面積徑流量．
　　根據上式得到：
　　將上式積分得到：
　　因此，我們得到徑流污染物濃度C
　　式中，是參數，含意如前所述；q(t)是徑流量隨時問變化的函數，可以根據徑流模型進行計算，常用的徑流模型可以簡單表示為
　　式中，h為地面徑流平均深度；i為降雨強度；f為滲透率．該模型假定在集水區出口以一定水深h—ho均勻流出，因此，基于曼寧公式，對該地表流
　　這里，l為集水區長度，n為集水區平均曼寧糙率系數，S為集水區平均地表坡度．將q代入上式采用數值方法，可計算q(t)。
　　2．4污染物沖刷模型——標定曲線法
　　單位時問單位面積污染物沖刷量表示為
　　式中，是沖刷系數；是沖刷指數；Q是流域內的雨水徑流量。
　　3．城市雨水入滲模型
　　3．1霍頓公式
　　霍頓公式是一個經驗公式：
　　式中：——穩定入滲率；
　　——初始入滲率；
　　——決定于土壤特性的常數；
　　3．2Philip入滲模型
　　Philip入滲模型是根據垂直入滲的級數解獲得的,可近似表示為:
　　式中:f為入滲率,；S為吸濕率,；t為入滲時間,min;B為常數,。
　　3．3Green—Ampt入滲模型
　　Green—Ampt模型假定在積水入滲過程中,土壤含水量剖面中存在一個很陡的濕潤鋒面,濕潤鋒面與土表面間的土壤處于飽和狀態,同時濕潤鋒面處存在1個固定不變的吸力Sf,若用幾個較易獲得的參數來表示入滲關系,則有:
　　式中:f為入滲率,；Ks為有效飽和導水率,；分別為土壤初始含水量及飽和含水量,；I為累積入滲量,cm。
　　Mein和Larson提出了降雨條件下Green—Ampt模型的表達形式,即設穩定的降雨強度為R(),降雨后開始積水的時間為tp(min),入滲率f=R時的累積入滲量計為Ip(cm),則Green—Ampt模型可表示為:
　　開始積水的時間tp由下式給出:
　　Green—Ampt公式的主要優點為:(1)基質作用通過概化濕潤鋒處的平均吸力Sf來體現,在形式上類似于飽和Darcy定律,具有Darcy定理的功能,但比其形式簡單,同時能夠反映非飽和土壤的入滲特征；(2)將重力作用和基質作用完全分開,而后者可通過簡單代數形式進行描述,因此便于通過簡單分析來揭示不同條件下重力勢和基質勢的貢獻及相應的影響因素；(3)所需的參數不多,其中飽和導水率的試驗測定方法簡單,濕潤鋒處吸力的計算稍復雜,但可采用不同的方法獲取。
　　4．城市雨水利用潛力分析模型
　　城市雨水利用潛力分析是進行城市雨水利用的前提．只有通過雨水利用潛力分析，才能知道該城市雨水資源的豐沛與否以及其年內的分布情況，有利于為布置城市雨水利用措施提供依據．城市雨水利用潛力指的是未加收集處理的雨水量，主要是指城市地區由降雨產生的雨洪量與綠地人滲量之和。它是介于城市雨水總量與城市雨水可利用量之間的一個數量，一個城市降雨量的多少可以通過雨量站數據計算求得，扣除了蒸發等損失后的水量才是城市雨水資源化利用潛力，而城市雨水資源可利用量是考慮了城市排水管網工程布局、雨水水
　　質與水量、暴雨洪峰歷時等因素，根據城市雨水資源化利用潛力，規劃設計雨水利用的工程與非工程措施，計算其所能集蓄的水量．一般來講，降雨量小于5mm的雨不會形成地面徑流．因此，城市雨洪利用主要集中在汛期，計算時要考慮一個季節折減系數．另外，經實驗研究發現，一場雨中，初期的雨水水質是比較差的，COD和SS都特別高，可考慮棄除，所以也應考慮一個初期棄流系數。城市雨水利用潛力、雨水總量與雨水可利用量三者之間的關系如圖1所示．
　　一般用經驗公式法估算城市雨水利用潛力，該方法是利用綜合徑流系數法估算地表徑流量和下滲系數法估算綠地人滲量，二者相加即為城市雨水利用潛力，計算公式如下：
　　式中：為城市雨水利用潛力，萬；分別為城市綜合地表徑流系數和綠地人滲系數；P為降雨量，mm；為城市匯水區面積，；為城市綠地面積，。經驗公式法沒有考慮地理要素對水文過程的作用機理，容易導致計算結果失真。
　　
　　參考文獻
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